圆的切线：判定与性质

证一条直线是圆的切线，只有两条路：

1. 有公共点（切点在图上）：连半径，证这条直线垂直于半径。垂直可以用勾股逆定理、等腰三角形三线合一、角度计算等手段。
2. 没有公共点：作圆心到直线的垂线段，证垂线段长等于半径。

选哪条路看题目给的条件：给了“直线过圆上一点”就走第一条，只说“直线与圆相切于某点”也是第一条；直线和圆的公共关系完全没给，走第二条。

切线垂直于过切点的半径。于是切点、圆心、直角三者绑定：

• 连半径立刻得到直角三角形；
• 从圆外一点引两条切线，图形关于该点与圆心的连线对称：切线长相等、连心线平分顶角、也平分两切点间的弧所对圆心角。

• 双切线：$PA$、$PB$ 切圆 $O$ 于 $A$、$B$，则 $PA=PB$，$OP$ 平分 $\angle APB$，且 $OP$ 垂直平分弦 $AB$。
• 切线加平行弦：切线的垂直方向与半径共线，和平行线一起倒角。
• 内切圆：三角形三边的切线长两两相等，配合面积公式 ${\displaystyle \frac{r(a+b+c)}{2}}$ 求内切圆半径。

例1 证切线（有公共点）

$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C$ 在圆上，$D$ 在直线 $BC$ 上，且 $\angle DCB=\angle A$。求证：$CD$ 是圆 $O$ 的切线。

解：连 $OC$，目标证 $OC⟂CD$。

$OA=OC$ 给出 $\angle OCA=\angle A$，于是 $\angle OCB={90}^{\circ }-\angle OCA={90}^{\circ }-\angle A$。

$\angle OCD=\angle OCB+\angle BCD$，其中 $\angle BCD=\angle DCB=\angle A$，代入：

$$\angle OCD={90}^{\circ }-\angle A+\angle A={90}^{\circ }.$$

$CD$ 过圆上的点 $C$ 且垂直于半径 $OC$，所以 $CD$ 是圆 $O$ 的切线。把目标角拆成两块、各用一次等腰与圆周角，是这类证明的标准节奏。

例2 双切线计算

$PA$、$PB$ 切圆 $O$ 于 $A$、$B$，$PA=4$，$\angle APB={60}^{\circ }$，求圆 $O$ 的半径。

解：$OP$ 平分 $\angle APB$，$\angle APO={30}^{\circ }$；$OA⟂PA$。

在直角三角形 $POA$ 中：$OA=PA\tan {30}^{\circ }=4\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$。

半径为 ${\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$。对称性给的第二件工具是 $OP$ 垂直平分 $AB$，需要 $AB$ 长时接着算等边结构即可。

例3 内切圆

$△ABC$ 中 $AB=13$、$BC=14$、$CA=15$，求内切圆半径。

解：先用海伦公式算面积：$s={\displaystyle \frac{13+14+15}{2}}=21$，

$$S=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84.$$

再由 $S={\displaystyle \frac{1}{2}}r(a+b+c)$：

$$84=\frac{1}{2}r\times 42,r=4.$$