从1写到50，数字「2」一共出现了多少次？
据《奥数教程·一年级 第2讲 数和数数》改写
答案：15 次
- 一位一位地数：个位上是2的数有 2、12、22、32、42，共5个；
- 十位上是2的数是 20 到 29，共10个；
- 22 的个位和十位都是2，前面已分别数过，不重复计算；
- 5＋10＝15（次）。
🏅
奥数挑战
88 道按奥数专题改编的思维题，覆盖 46 个知识点。可先自己动笔，再展开看答案与思路；每个知识点页的「拓展 · 挑战」里也会随机出现，刷新就换一道。
共 88 道
按规律填数：2、5、8、11、（ ）、17。
据《奥数教程·一年级 第6讲 按规律填数》改写
答案：14
- 相邻两数依次多3：2＋3＝5，5＋3＝8，8＋3＝11；
- 11＋3＝14；
- 再验证：14＋3＝17，符合规律。
按规律填数：1、2、4、7、11、（ ）、22。
据《奥数教程·一年级 第6讲 按规律填数》改写
答案：16
- 看相邻两数的差：1、2、3、4……每次多1；
- 第5个数11与第4个数7的差是4；
- 11＋5＝16；
- 验证：16＋6＝22，正好符合。
做操时，小明从前面数排第5个，从后面数排第4个。这一队一共有多少人？
据《奥数教程·一年级 第4讲 几和第几》改写
答案：8 人
- 小明前面有 5－1＝4（人）；
- 小明后面有 4－1＝3（人）；
- 加上小明自己：4＋3＋1＝8（人）。
抽屉里有红、黄、蓝三种颜色的袜子各一双（共6只）。不开灯，最少要摸出几只，才能保证其中一定有一双同色的袜子？
据《奥数教程·一年级 第5讲 分类》改写
答案：4 只
- 要想「保证」，就要按最倒霉的情况想；
- 最倒霉：前3只颜色各不相同，各取1只；
- 第4只不管是什么颜色，都会和前面的某一只同色，凑成一双；
- 所以最少摸 3＋1＝4（只）。
沿直线剪一刀，把一个正方形剪去一个角，剩下的图形可能还有几个角？
据《奥数教程·一年级 第9讲 认识图形》改写
答案：3 个、4 个或 5 个
- 剪的位置不同，剩下的角数也不同，要分三种情况讨论；
- 情况一：剪口经过另一个顶点（等于沿对角线剪），剩下一个三角形，有 3 个角；
- 情况二：剪口经过一条对边上的点，剩下一个四边形，有 4 个角；
- 情况三：剪口经过两条相邻边上的点，剩下一个五边形，有 5 个角。
一条线段上共有4个点（包括两个端点），以这些点为端点，一共可以数出多少条线段？
据《奥数教程·一年级 第10讲 图形中的计数》改写
答案：6 条
- 从左往右，以第1个点为左端点：可以连出3条；
- 以第2个点为左端点：可以连出2条（往右）；
- 以第3个点为左端点：可以连出1条；
- 3＋2＋1＝6（条）。
计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10。
据《奥数教程·一年级 第12讲 算得活 算得巧》改写
答案：55
- 首尾配对：1＋10＝11，2＋9＝11，3＋8＝11，4＋7＝11，5＋6＝11；
- 一共配成5对，每对都是11；
- 11×5＝55。
用同样长的小棒摆图形。摆1个三角形要用3根，摆2个独立的三角形要用6根；如果两个三角形共用一条边，摆2个三角形最少用几根？
据《奥数教程·一年级 第15讲 火柴棒的游戏》改写
答案：5 根
- 两个三角形各自需要3根，共6根；
- 让它们共用1条边，这条边只摆一次，省下1根；
- 3＋3－1＝5（根）。
小华有12支铅笔，他送给弟弟3支后，两人的铅笔就同样多了。弟弟原来有几支铅笔？
据《奥数教程·一年级 第14讲 应用题》改写
答案：6 支
- 小华送出3支后还剩 12－3＝9（支）；
- 这时弟弟也有9支；
- 弟弟的9支里有3支是小华送的，所以原来有 9－3＝6（支）。
计算：1＋2＋3＋…＋20。
据《奥数教程·二年级 第1讲 加减法中的简便运算》改写
答案：210
- 首尾配对：1＋20＝21，2＋19＝21，…每对都是21；
- 20个数一共配成 20÷2＝10（对）；
- 21×10＝210。
计算：37＋48＋63。
据《奥数教程·二年级 第1讲 加减法中的简便运算》改写
答案：148
- 观察发现 37 和 63 能凑成整百；
- 先算 37＋63＝100；
- 100＋48＝148。
用6根同样长的小棒，怎样摆出4个完全一样的三角形？
据《奥数教程·二年级 第3讲 火柴棒游戏》改写
答案：摆成一个正四面体（三棱锥）
- 在桌面上平摆，最多摆出2个三角形，用小棒数不够；
- 跳出平面：把6根小棒搭成一个立体的正四面体（三棱锥）；
- 正四面体的4个面都是正三角形，正好用6条棱；
- 所以答案是把图形「立起来」摆。
图形按「○ △ □ ○ △ □ ○ △ □……」的顺序一直排列，第20个是什么图形？
据《奥数教程·二年级 第4讲 接着画下去》改写
答案：△
- 3个图形为一组，循环出现；
- 20÷3＝6（组）……2（个）；
- 余2表示是下一组的第2个，即△。
三根绳子比长短：甲比乙长4米，乙比丙短3米。哪根绳子最长？
据《奥数教程·二年级 第5讲 比比长短》改写
答案：甲最长
- 甲比乙长4米，说明 甲＝乙＋4；
- 乙比丙短3米，说明 丙＝乙＋3；
- 同样以乙为准，甲多4米、丙多3米；
- 4＞3，所以甲最长。
把一个长方形剪一刀，剪成两个完全一样的三角形。这一刀应该怎样剪？
据《奥数教程·二年级 第6讲 图形的剪拼》改写
答案：沿着一条对角线剪
- 长方形有两组对边分别相等；
- 沿对角线剪开，得到的两个三角形三边分别相等（两条边是长方形的边，第三条是对角线）；
- 所以这两个三角形完全一样。
一只蜗牛从井底往上爬。白天向上爬3米，夜里下滑2米，井深10米。第几天蜗牛能爬出井口？
据《奥数教程·二年级 第7讲 数学趣题（一）》改写
答案：第 8 天
- 最后一个白天是关键：只要白天爬到井口就不会再下滑；
- 前面每天实际只上升 3－2＝1（米）；
- 第7天结束时爬到 7 米；
- 第8天白天从7米再爬3米，正好到10米，爬出井口。
商店原来有30个苹果，上午卖出8个，下午卖出9个。还剩多少个？
据《奥数教程·二年级 第9讲 两步运算应用题》改写
答案：13 个
- 先求一共卖出多少：8＋9＝17（个）；
- 再求剩下多少：30－17＝13（个）；
- 也可以连减：30－8－9＝13（个）。
小明带了15元，买一支笔用去6元，又买一个本子，最后还剩4元。一个本子多少元？
据《奥数教程·二年级 第10讲 画图法解应用题》改写
答案：5 元
- 买笔后剩下的钱：15－6＝9（元）；
- 本子用去的钱就是这9元里最后剩下的4元以外的部分：9－4＝5（元）。
一个数先加上6，再乘3，最后减去5，结果是16。这个数是多少？
据《奥数教程·二年级 第11讲 倒推法解应用题》改写
答案：1
- 倒着推：把每一步的运算反过来；
- 减5之前是 16＋5＝21；
- 乘3之前是 21÷3＝7；
- 加6之前是 7－6＝1。
- 验算：（1＋6）×3－5＝16，正确。
笼子里有鸡和兔共8只，一共有22只脚。鸡有几只？兔有几只？
据《奥数教程·二年级 第12讲 列表法解应用题》改写
答案：鸡 5 只，兔 3 只
- 假设8只全是鸡，共有脚 8×2＝16（只）；
- 比实际少 22－16＝6（只）；
- 一只兔比一只鸡多2只脚，所以兔有 6÷2＝3（只）；
- 鸡有 8－3＝5（只）。
- 验算：5×2＋3×4＝22，正确。
甲、乙、丙三人中只有一人做了好事。甲说：「不是我。」乙说：「是丙。」丙说：「不是我。」已知三人中只有一人说了真话。好事是谁做的？
据《奥数教程·二年级 第13讲 简单推理（一）》改写
答案：甲
- 假设是甲做的：甲的话假，乙的话假，丙的话真——正好只有一人说真话，符合条件；
- 假设是乙做的：甲真、乙假、丙真——两人说真话，不符合；
- 假设是丙做的：甲真、乙真、丙假——两人说真话，不符合；
- 所以好事是甲做的。
一盒糖平均分给7个人，每人分到4颗，还剩下3颗。这盒糖共有多少颗？
据《奥数教程·二年级 第15讲 有趣的余数》改写
答案：31 颗
- 分掉的糖：7×4＝28（颗）；
- 再加上剩下的3颗：28＋3＝31（颗）；
- 注意余数3必须小于除数7，符合要求。
今天是星期三，再过30天是星期几？
据《奥数教程·二年级 第23讲 明年的今天是星期几》改写
答案：星期五
- 一周7天为一个周期；
- 30÷7＝4（周）……2（天）；
- 4周后仍是星期三，再往后数2天；
- 星期三往后2天是星期五。
用1、2、3、4这四个数（每个数只用一次），通过加、减、乘、除和括号，算出24。
据《奥数教程·二年级 第16讲 锻炼思维的24点》改写
答案：1×2×3×4＝24
- 先看能不能直接连乘：1×2＝2，2×3＝6，6×4＝24；
- 正好每个数用一次；
- 所以 1×2×3×4＝24。
钟面上，分针从8时整走到8时30分，一共转过了多少度？
据《奥数教程·二年级 第17讲 钟面上的数学》改写
答案：180°
- 分针转一圈是60分钟，对应360°；
- 每分钟转 360÷60＝6（°）；
- 30分钟转 6×30＝180（°），正好半圈。
给一本30页的书编页码（1、2、3……30），一共要用多少个数字？
据《奥数教程·二年级 第18讲 这本书有多少页》改写
答案：51 个
- 第1页到第9页，每个页码用1个数字：9×1＝9（个）；
- 第10页到第30页，共 30－10＋1＝21（页），每页用2个数字：21×2＝42（个）；
- 一共 9＋42＝51（个）。
某个数加上8以后，正好是它原来的3倍。这个数是多少？
据《奥数教程·二年级 第19讲 逆序推理法》改写
答案：4
- 把原数看成1份，加上8后变成3份；
- 多出来的8就是 3－1＝2（份）；
- 1份是 8÷2＝4；
- 所以原数是4。验算：4＋8＝12＝4×3。
一串珠子按「红、红、黄、蓝」的顺序不断重复排列，第40颗是什么颜色？
据《奥数教程·二年级 第20讲 简单的周期问题》改写
答案：蓝色
- 4颗为一组：红、红、黄、蓝；
- 40÷4＝10（组），正好整除；
- 没有余数，说明是这一组的最后一个；
- 所以第40颗是蓝色。
1×2＋3×4＋5×6＋…＋19×20 的和是奇数还是偶数？
据《奥数教程·二年级 第21讲 奇数和偶数》改写
答案：偶数
- 每一项都是一个奇数乘一个偶数；
- 奇数×偶数＝偶数，所以每一项都是偶数；
- 偶数加偶数还是偶数；
- 因此整个和是偶数。
用1、2、3三张数字卡片，每次全部用上，可以组成多少个不同的三位数？
据《奥数教程·二年级 第22讲 智力计数》改写
答案：6 个
- 百位可以是1、2、3，共3种选法；
- 百位定下后，十位只剩2种选法；
- 十位定下后，个位只剩1种选法；
- 3×2×1＝6（个），即123、132、213、231、312、321。
2024年（闰年）3月1日是星期五，那么3月31日是星期几？
据《奥数教程·二年级 第23讲 明年的今天是星期几》改写
答案：星期日
- 从3月1日到3月31日，经过了 31－1＝30（天）；
- 30÷7＝4（周）……2（天）；
- 星期五往后数2天，是星期日。
用0、1、2、3四张数字卡片，各用一次，能组成的最大四位数和最小四位数分别是多少？
据《奥数教程·二年级 第24讲 最大和最小》改写
答案：最大 3210，最小 1023
- 要最大：高位放最大的数字，依次是3、2、1、0，得3210；
- 要最小：首位不能是0，只能放1；剩下0、2、3按从小到大排，得1023；
- 注意最小的四位数不是0123，因为0不能作首位。
把一根绳子对折3次后，从中间剪一刀，绳子被剪成了多少段？
据《奥数教程·二年级 第25讲 简单的操作问题》改写
答案：9 段
- 对折1次变2股，对折2次变4股，对折3次变 2×2×2＝8（股）；
- 一刀同时剪断这8股，得到8个断口；
- 一根绳子剪成几段，段数＝断口数＋1；
- 8＋1＝9（段）。
计算：2＋5＋8＋…＋32。
据《奥数教程·三年级 第5讲 等差数列》改写
答案：187
- 相邻两项都相差3，是等差数列；
- 项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（32－2）÷3＋1＝11（项）；
- 和＝（首项＋末项）×项数÷2＝（2＋32）×11÷2＝187。
数列1、4、7、10、…中，第20项是多少？
据《奥数教程·三年级 第5讲 等差数列》改写
答案：58
- 公差是 4－1＝3；
- 第n项＝首项＋（n－1）×公差；
- 第20项＝1＋19×3＝1＋57＝58。
三个数的平均数是15，其中两个数分别是12和18，第三个数是多少？
据《奥数教程·三年级 第7讲 平均数》改写
答案：15
- 三个数的总和＝15×3＝45；
- 已知两数之和＝12＋18＝30；
- 第三个数＝45－30＝15。
小明前三次数学测验的平均分是85分，第四次考了93分。这四次的平均分是多少？
据《奥数教程·三年级 第7讲 平均数》改写
答案：87 分
- 前三次总分＝85×3＝255（分）；
- 四次总分＝255＋93＝348（分）；
- 平均分＝348÷4＝87（分）。
一个三位数，百位是4、十位是0、个位是8。把它乘3，结果是多少？
据《奥数教程·三年级 第8讲 算式谜》改写
答案：1224
- 这个数是408；
- 408×3：个位 8×3＝24，写4进2；
- 十位 0×3＋2＝2；
- 百位 4×3＝12；
- 所以结果是1224。
把1～9九个数字填入3×3的方格，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。这个相等的和是多少？中心格填几？
据《奥数教程·三年级 第9讲 三阶幻方》改写
答案：和是15，中心格填5
- 1～9的总和＝（1＋9）×9÷2＝45；
- 三行之和相等，每行和＝45÷3＝15；
- 中心格被一行、一列、两条对角线共用，四条线之和＝15×4＝60；
- 四条线相加时，其余8格各算一次，中心格算4次：45＋3×中心＝60；
- 中心＝（60－45）÷3＝5。
一条直线上有8个点，以这些点为端点，一共可以数出多少条线段？
据《奥数教程·三年级 第13讲 数线段》改写
答案：28 条
- 每个点都能和其余7个点各连成1条线段，共 8×7＝56（次）；
- 但每条线段被两端的点各数了一次，重复计算；
- 56÷2＝28（条）。
在3×3的方格图（9个小方格）中，一共可以数出多少个正方形？
据《奥数教程·三年级 第14讲 数图形》改写
答案：14 个
- 边长1格的小正方形：3×3＝9（个）；
- 边长2格的正方形：横向有2个位置、纵向有2个位置，共 2×2＝4（个）；
- 边长3格的正方形：1个；
- 9＋4＋1＝14（个）。
一个长方形长8厘米、宽5厘米，它的周长是多少厘米？
据《奥数教程·三年级 第15讲 巧求周长》改写
答案：26 厘米
- 长方形周长＝（长＋宽）×2；
- （8＋5）×2＝13×2＝26（厘米）。
把两个边长3厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？
据《奥数教程·三年级 第15讲 巧求周长》改写
答案：18 厘米
- 拼成的长方形长＝3＋3＝6（厘米），宽＝3（厘米）；
- 周长＝（6＋3）×2＝18（厘米）；
- 也可以想：两个正方形周长共 3×4×2＝24，拼合处藏起2条边共6厘米，24－6＝18。
把一个边长6厘米的正方形剪成两个完全一样的长方形，每个长方形的周长是多少厘米？
据《奥数教程·三年级 第16讲 图形的剪拼》改写
答案：18 厘米
- 剪开后每个长方形的长是6厘米，宽是 6÷2＝3（厘米）；
- 周长＝（6＋3）×2＝18（厘米）。
一个数先加上5，再乘2，最后减去10，结果是20。这个数是多少？
据《奥数教程·三年级 第17讲 还原问题》改写
答案：10
- 倒着推：减10之前是 20＋10＝30；
- 乘2之前是 30÷2＝15；
- 加5之前是 15－5＝10。
- 验算：（10＋5）×2－10＝20，正确。
一条长100米的小路，从头到尾每隔5米栽一棵树（两端都栽）。一共要栽多少棵？
据《奥数教程·三年级 第18讲 植树问题》改写
答案：21 棵
- 先求间隔数：100÷5＝20（段）；
- 两端都栽时，棵数＝间隔数＋1；
- 20＋1＝21（棵）。
一个圆形花坛周长60米，沿花坛边每隔4米栽一棵花苗。一共要栽多少棵？
据《奥数教程·三年级 第18讲 植树问题》改写
答案：15 棵
- 圆形是封闭图形，首尾相接；
- 棵数＝间隔数，不加也不减；
- 60÷4＝15（棵）。
两个数的和是100，差是20。较大的数是多少？
据《奥数教程·三年级 第19讲 和差问题》改写
答案：60
- 较大数＝（和＋差）÷2；
- （100＋20）÷2＝60；
- 较小数＝100－60＝40，验证 60－40＝20，正确。
甲数是乙数的3倍，甲乙两数的和是48。甲数是多少？
据《奥数教程·三年级 第20讲 倍数问题》改写
答案：36
- 把乙数看作1份，甲数就是3份，一共4份；
- 1份＝48÷4＝12，即乙数；
- 甲数＝12×3＝36。
爸爸今年36岁，儿子今年8岁。几年后爸爸的年龄正好是儿子的3倍？
据《奥数教程·三年级 第21讲 年龄问题》改写
答案：6 年后
- 两人的年龄差永远不变：36－8＝28（岁）；
- 当爸爸是儿子的3倍时，差相当于儿子的 3－1＝2（倍）；
- 那时儿子 28÷2＝14（岁）；
- 14－8＝6（年）。
- 验算：6年后爸爸42岁，儿子14岁，42÷14＝3，正确。
甲乙两地相距300千米。两辆车同时从两地相向开出，速度分别是每小时60千米和每小时40千米。几小时后两车相遇？
据《奥数教程·三年级 第22讲 相遇问题》改写
答案：3 小时
- 相向而行时，两车每小时共接近 60＋40＝100（千米）；
- 相遇时间＝路程÷速度和＝300÷100＝3（小时）。
甲以每小时4千米的速度步行，乙在甲后面10千米处，以每小时6千米的速度沿同一路线追。几小时后乙能追上甲？
据《奥数教程·三年级 第23讲 追及问题》改写
答案：5 小时
- 乙每小时比甲多走 6－4＝2（千米）；
- 要追回10千米，需要 10÷2＝5（小时）。
老师给小朋友分糖：每人分3颗，多出5颗；每人分4颗，又少3颗。一共有多少个小朋友？
据《奥数教程·三年级 第24讲 应用题（一）》改写
答案：8 个
- 每人多分1颗，糖就从「多5颗」变成「少3颗」；
- 一共差了多少颗：5＋3＝8（颗）；
- 每人相差1颗，所以人数＝8÷1＝8（人）；
- 验算：8×3＋5＝29（颗），8×4－3＝29（颗），一致。
班里共30人：喜欢数学的有18人，喜欢语文的有15人，两科都喜欢的有8人。两科都不喜欢的有多少人？
据《奥数教程·三年级 第24讲 应用题（一）》改写
答案：5 人
- 喜欢至少一科的人数＝18＋15－8＝25（人）；
- 「－8」是因为两科都喜欢的人被加了两次；
- 30－25＝5（人）。
小丽有3件不同的上衣和4条不同的裤子。一件上衣配一条裤子，一共有多少种不同的搭配？
据《奥数教程·三年级 第25讲 应用题（二）》改写
答案：12 种
- 每件上衣都能和4条裤子搭配，有4种；
- 共3件上衣：4×3＝12（种）。
2024年是闰年，这一年的2月有多少天？全年有多少天？
据《奥数教程·三年级 第25讲 应用题（二）》改写
答案：2月29天，全年366天
- 公历年份是4的倍数的一般是闰年，2024÷4＝506，是闰年；
- 闰年2月有29天；
- 全年 31×7＋30×4＋29＝366（天）。
用24时计时法表示：下午3时20分是（ ）。
据《奥数教程·三年级 第25讲 应用题（二）》改写
答案：15时20分（15:20）
- 下午的时刻要加上12小时；
- 3＋12＝15；
- 所以是15时20分。
一节课从8时40分开始，到10时15分结束。这节课上了多长时间？
据《奥数教程·三年级 第25讲 应用题（二）》改写
答案：1 小时 35 分
- 从8时40分到9时40分是1小时；
- 从9时40分到10时15分是35分钟；
- 合起来是1小时35分。
一根绳子长12米，用去了它的三分之一。用去了多少米？还剩多少米？
据《奥数教程·三年级 第25讲 应用题（二）》改写
答案：用去 4 米，还剩 8 米
- 把12米平均分成3份，每份 12÷3＝4（米）；
- 用去1份，就是4米；
- 剩下 12－4＝8（米），也就是全长的三分之二。
计算：3.6＋2.45。
据《奥数教程·三年级 第25讲 应用题（二）》改写
答案：6.05
- 小数加减法要把小数点对齐（也就是相同数位对齐）；
- 3.60＋2.45；
- 百分位 0＋5＝5，十分位 6＋4＝10 写0进1，个位 3＋2＋1＝6；
- 结果是6.05。
小明有24张卡片，正好是小红的3倍。两人一共有多少张卡片？
据《奥数教程·三年级 第20讲 倍数问题》改写
答案：32 张
- 小红的张数＝24÷3＝8（张）；
- 两人一共 24＋8＝32（张）。
一块长方形菜地长9米、宽6米。它的面积是多少平方米？周长是多少米？
据《奥数教程·三年级 第15讲 巧求周长》改写
答案：面积 54 平方米，周长 30 米
- 长方形面积＝长×宽＝9×6＝54（平方米）；
- 周长＝（9＋6）×2＝30（米）；
- 注意面积用平方米，周长用米，单位不能混。
1吨减去300千克，还剩多少千克？
据《奥数教程·三年级 第3讲 加减法中的巧算（二）》改写
答案：700 千克
- 1吨＝1000千克；
- 1000－300＝700（千克）。
一个三角形的三个内角度数之比是2∶3∶4，最大的内角是多少度？
据《朱韬·初二 第27讲 三角形（上）》改写
答案：80°
- 三角形内角和是180°；
- 总份数 2＋3＋4＝9（份）；
- 每份 180÷9＝20（°）；
- 最大角占4份：20×4＝80（°）。
一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？
据《朱韬·初中讲义 · 多边形内角和专题改写》改写
答案：八边形
- n边形内角和＝（n－2）×180°；
- （n－2）×180＝1080；
- n－2＝6，n＝8。
已知△ABC≌△DEF，AB＝5，BC＝7，AC＝6。求DE、EF、DF的长。
据《朱韬·初一 第31讲 全等三角形的性质和判定（上）》改写
答案：DE＝5，EF＝7，DF＝6
- 全等三角形的对应边相等；
- 按书写顺序对应：A↔D、B↔E、C↔F；
- 所以 DE＝AB＝5，EF＝BC＝7，DF＝AC＝6。
点P在∠AOB的平分线上，P到OA的距离是3厘米。P到OB的距离是多少？
据《朱韬·初一 第35讲 垂直平分线与角平分线（上）》改写
答案：3 厘米
- 角平分线上的点到角两边的距离相等；
- 所以P到OB的距离也是3厘米；
- （这里的距离指垂线段的长度。）
等腰三角形的两条边长分别是5和11，它的周长是多少？
据《朱韬·初一 第50讲 特殊三角形（上）· 等腰三角形》改写
答案：27
- 分两种情况：腰为5或腰为11；
- 若腰为5，三边是5、5、11，5＋5＝10＜11，不能构成三角形，舍去；
- 若腰为11，三边是11、11、5，11＋5＞11，成立；
- 周长＝11＋11＋5＝27。
等腰三角形有一个角是80°，它的顶角可能是多少度？
据《朱韬·初一 第50讲 特殊三角形（上）· 等腰三角形》改写
答案：80° 或 20°
- 80°可能是顶角：此时顶角就是80°；
- 80°也可能是底角：两个底角都是80°，顶角＝180－80×2＝20°；
- 所以顶角是80°或20°（两解都要写）。
直角三角形的两条直角边分别是6和8，求斜边长，并求斜边上的高。
据《朱韬·初中讲义 · 勾股定理专题改写》改写
答案：斜边10，斜边上的高4.8
- 由勾股定理：斜边²＝6²＋8²＝36＋64＝100，斜边＝10；
- 用面积两种算法：6×8÷2＝10×h÷2；
- 48＝10h，h＝4.8。
三边长分别为7、24、25的三角形是直角三角形吗？为什么？
据《朱韬·初中讲义 · 勾股定理的逆定理专题改写》改写
答案：是直角三角形
- 找最长边25，验证 7²＋24² 是否等于 25²；
- 7²＋24²＝49＋576＝625，25²＝625；
- 两短边平方和等于最长边平方，由勾股定理的逆定理，它是直角三角形。
平行四边形ABCD中，∠A＝70°。求∠B、∠C的度数。
据《朱韬·初一 第56讲 平行四边形，菱形及矩形（上）》改写
答案：∠B＝110°，∠C＝70°
- 平行四边形的邻角互补，所以∠B＝180－70＝110°；
- 对角相等，所以∠C＝∠A＝70°。
菱形的两条对角线长分别是6和8。求它的边长和面积。
据《朱韬·初一 第57讲 平行四边形，菱形及矩形（下）》改写
答案：边长5，面积24
- 菱形的对角线互相垂直平分；
- 半对角线是3和4，边长＝√(3²＋4²)＝5；
- 面积＝对角线乘积的一半＝6×8÷2＝24。
矩形的对角线长10，一条边长6。求另一条边长和面积。
据《朱韬·初一 第57讲 平行四边形，菱形及矩形（下）》改写
答案：另一边8，面积48
- 矩形的四个角都是直角，对角线、长、宽构成直角三角形；
- 另一边＝√(10²－6²)＝√64＝8；
- 面积＝6×8＝48。
两个相似三角形的相似比是2∶3，它们的面积比是多少？
据《朱韬·初二 第11讲 相似常用模型（一）》改写
答案：4∶9
- 相似三角形面积比等于相似比的平方；
- 2²∶3²＝4∶9。
在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。若AD∶DB＝2∶3，DE＝4，求BC的长。
据《朱韬·初二 第11讲 相似常用模型（一）》改写
答案：10
- DE∥BC，所以△ADE∽△ABC；
- AD∶DB＝2∶3，则 AD∶AB＝2∶(2＋3)＝2∶5；
- 相似比是2∶5，所以 DE∶BC＝2∶5；
- 4∶BC＝2∶5，BC＝10。
⊙O的半径是5，一条弦长8。求圆心到这条弦的距离。
据《朱韬·初二 第18讲 与圆有关的位置关系（一）》改写
答案：3
- 过圆心作弦的垂线，垂足平分弦；
- 半径、半弦、弦心距构成直角三角形；
- 半弦长4，弦心距＝√(5²－4²)＝3。
同一条弧所对的圆心角是80°，它所对的圆周角是多少度？
据《朱韬·初二 第18讲 与圆有关的位置关系（一）》改写
答案：40°
- 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；
- 80÷2＝40（°）。
圆内接四边形ABCD中，∠A＝70°，求∠C的度数。
据《朱韬·初二 第22讲 圆幂定理（一）》改写
答案：110°
- 圆内接四边形的对角互补；
- ∠A＋∠C＝180°；
- ∠C＝180－70＝110°。
半径6厘米、圆心角60°的扇形，弧长是多少？面积是多少？
据《朱韬·初三 第31讲 圆（上）· 弧长与扇形面积》改写
答案：弧长 2π 厘米，面积 6π 平方厘米
- 弧长＝(n/360)×2πr＝(60/360)×2π×6＝2π（厘米）；
- 面积＝(n/360)×πr²＝(60/360)×π×36＝6π（平方厘米）。
正方形绕它的中心至少旋转多少度，才能与原来的图形重合？正三角形呢？
据《朱韬·初三 第23讲 旋转综合（上）》改写
答案：正方形90°，正三角形120°
- 绕中心旋转，看图形能分成几个相同的部分，转 360°÷份数 就重合；
- 正方形绕中心可分成4份，360÷4＝90（°）；
- 正三角形绕中心可分成3份，360÷3＝120（°）。
计算：2sin30°＋tan45°。
据《朱韬·初二 第40讲 三角函数（二）· 锐角三角函数》改写
答案：2
- sin30°＝1/2，所以 2sin30°＝1；
- tan45°＝1；
- 1＋1＝2。
一段斜坡的坡角是30°，坡面长100米。沿着坡面走100米，升高了多少米？
据《朱韬·初二 第40讲 三角函数（二）· 解直角三角形》改写
答案：50 米
- 坡角、升高、坡面构成直角三角形，坡面是斜边；
- 升高＝坡面×sin30°＝100×1/2＝50（米）。
把圆柱直立放在桌面上，它的主视图和俯视图分别是什么图形？
据《初中数学 · 投影与视图专题改写（人教版九下）》改写
答案：主视图是矩形，俯视图是圆
- 从正面看，圆柱的侧面变成矩形（宽为底面直径、高为柱高）；
- 从上面往下看，看到的是底面圆；
- 所以主视图是矩形，俯视图是圆。
两个图形是位似图形，位似比是1∶3。它们的面积比是多少？
据《初中数学 · 位似专题改写（人教版九下）》改写
答案：1∶9
- 位似图形一定是相似图形，位似比就是相似比；
- 面积比＝相似比的平方＝1²∶3²＝1∶9。
等边三角形有几条对称轴？一般的等腰三角形有几条？
据《朱韬·初一 第61讲 几何变换之轴对称（上）》改写
答案：等边三角形3条，一般等腰三角形1条
- 等腰三角形的顶角平分线所在的直线是对称轴，一般只有1条；
- 等边三角形三条边都相等，三条中线（也是高、角平分线）所在直线都是对称轴，共3条。
△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15。判断△ABC的形状，并求它的面积。
据《朱韬·初中讲义 · 勾股定理专题改写》改写
答案：直角三角形，面积54
- 最长边是15：9²＋12²＝81＋144＝225，15²＝225；
- 两短边平方和等于最长边平方，所以∠B＝90°；
- 面积＝9×12÷2＝54。
这个组合下还没有题，换一个筛选试试。
这些题从哪来
题目按《奥数教程》（第六版，小学一至六年级 / 初中七至九年级）与初中奥数讲义里的专题思路改写而成： 保留原来的考点、方法与难度梯度，换掉具体数字与情境，答案与解题步骤逐步给出。 这样既能贴近原书专题训练的路子，也不会把书上的内容整段搬过来。
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