四点共圆

四点 $A$、$B$、$C$、$D$ 共圆，常用三条路：

1. 对角互补：四边形一对对角相加 ${180}^{\circ }$，则四顶点共圆。
2. 同侧等角：两点 $A$、$B$，另两点 $C$、$D$ 在 $AB$ 同侧且 $\angle ACB=\angle ADB$，则 $A$、$B$、$C$、$D$ 共圆。
3. 直角共斜边：两个直角三角形共享斜边 $AB$（即 $\angle ACB=\angle ADB={90}^{\circ }$，$C$、$D$ 同侧或异侧均可），则四点共圆，$AB$ 是直径。

第三条是第二条的特例，也是最好用的一条——图中只要有“两个直角看同一条线段”，圆就白送。

共圆只是手段，产出是角的自由转移：

• 同弧圆周角相等，把一个角搬到另一个顶点；
• 对角互补、外角等于内对角，把角送到“对面”；
• 圆幂关系（下一讲）随之激活。

解题时的心法：图中出现两三个直角或互补角，先证共圆，再倒角，往往一步到位。

• 共圆 + 勾股：斜边为直径的圆上点到直径两端距离随便用；
• 共圆 + 相似：同弧圆周角搬角后立刻写相似三角形；
• 共圆 + 托勒密：见下一讲。

例1 直角共斜边

$△ABC$ 中 $AD⟂BC$ 于 $D$，$E$ 在 $AD$ 上，且 $DE·DA=DB·DC$。求证：$A$、$B$、$C$、$E$ 四点共圆。

解：由 $DE·DA=DB·DC$ 得 ${\displaystyle \frac{DE}{DB}}={\displaystyle \frac{DC}{DA}}$；又 $\angle EDB=\angle CDA$（对顶角），故 $△EDB~△CDA$。

于是 $\angle DEB=\angle DCA$。$A$、$E$、$D$ 共线，$\angle AEB={180}^{\circ }-\angle DEB$；$\angle ACB=\angle DCA$，所以

$$\angle AEB+\angle ACB={180}^{\circ }.$$

对角互补，四点共圆。这条“乘积式 $\to$ 相似 $\to$ 倒角 $\to$ 共圆”的链条要整段背下来。

例2 相似转出同侧等角

$△ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$\angle ACD=\angle ABC$。求证：$A$、$B$、$C$、$D$ 四点共圆。

解：$△ACD$ 与 $△ABC$ 共享角 $A$，又 $\angle ACD=\angle ABC$，两三角形相似。

由相似得 $\angle ADC=\angle ACB$。这两个角的顶点 $D$、$B$ 都在线段 $AC$ 同侧，且都对着线段 $AC$，角度相等——同侧等角判定成立，四点共圆。

顺手带走一个副产品：$\angle BDC={180}^{\circ }-\angle ADC=\angle A+\angle ABC$，共圆图中这类“外角=内对角”随处可用。

例3 共圆定型

四边形 $ABCD$ 内接于圆，$\angle A={90}^{\circ }$，$AB=3$、$AD=4$、$BC=4$，求 $CD$ 与四边形周长。

解：$\angle A={90}^{\circ }$ 所对的弦 $BD$ 是直径，$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

直径所对圆周角为直角，$\angle C={90}^{\circ }$，$△BCD$ 也是直角三角形：

$$CD=\sqrt{B{D}^2-B{C}^2}=\sqrt{25-16}=3.$$

周长 $=3+4+4+3=14$。“$\angle A={90}^{\circ }\Rightarrow BD$ 为直径 $\Rightarrow \angle C={90}^{\circ }$”这条链条一次点燃两个直角三角形，是共圆题最划算的买卖。