初中数学竞赛 · 圆

点、直线与圆的位置关系

位置关系全部翻译成距离与半径比大小：相离、相切、相交三种状态一个不等式全说清。

九年级难度 ★★11 分钟

点与圆：比大小

设点到圆心距离为 $d$ 、半径为 $r$ ：

$d$ 大于 $r$ ：点在圆外；
$d$ 等于 $r$ ：点在圆上；
$d$ 小于 $r$ ：点在圆内。

直线与圆：同一个比

直线到圆心的距离（即圆心到直线的垂线段长）为 $d$ ：

$d$ 大于 $r$ ：相离，没有公共点；
$d$ 等于 $r$ ：相切，恰有一个公共点，这条直线叫切线；
$d$ 小于 $r$ ：相交，有两个公共点，直线叫割线。

相交时弦心距、半弦长、半径仍构成直角三角形，与垂径定理一脉相承。

判定与性质

判定切线的两条路：圆心到直线距离等于半径；过半径外端且垂直于半径。

切线性质：切线垂直于过切点的半径。连半径出直角，是圆里造直角三角形的主力手段。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且圆心与该点的连线平分两切线夹角。图形关于 $O P$ 轴对称，内切圆、外接圆的许多计算都靠它。

例题

例1 判断位置

圆 $O$ 的圆心为 $(3, 0)$ 、半径为 $5$ ，判断直线 $x = 9$ 与圆的位置关系。

解：圆心到直线 $x = 9$ 的距离 $d = 9 - 3 = 6$ 。

$d = 6$ 大于 $r = 5$ ，直线与圆相离。

例2 距离含参

圆 $O$ 半径为 $2$ ，圆心到直线 $l$ 的距离 $d = t$ （ $t \geq 0$ ）。若直线与圆相交，求 $t$ 的取值范围；若相切， $t$ 为多少？

解：相交要求 $d$ 小于 $r$ ，即 $0 \leq t$ 小于 $2$ 。

相切要求 $d = r$ ，即 $t = 2$ 。

若题目再问“有两个公共点”，答案与相交一致；“最多一个公共点”则是 $t \geq 2$ （相切或相离）。

例3 切线长

$△ A B C$ 中 $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，其内切圆分别切三边于 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，求内切圆半径与切线长。

解：斜边 $A B = 5$ 。设内切圆半径为 $r$ ，用面积法：
$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 = \frac{1}{2} r (3 + 4 + 5) = 6 r,$
所以 $r = 1$ 。

设 $A D = A F = x$ 、 $B D = B E = y$ 、 $C E = C F = z$ ，由切线长相等与边长： $x + y = 5$ ， $y + z = 4$ ， $z + x = 3$ ，解得 $x = 2$ 、 $y = 3$ 、 $z = 1$ 。

直角三角形内切圆半径另有公式 $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ ，可作验算。

三个坑

距离算成斜的：圆心到直线的距离指垂线段，别拿圆心到直线上某特殊点的连线凑数。
切线判定漏条件：“过半径外端”与“垂直于这条半径”缺一不可，只垂直不经过外端不行。
切线长相等只写结论不写对称：证明题里要先指出图形关于 $O P$ 对称或用两个直角三角形全等。

练习（先做，再看答案）

圆心 $O (0, 0)$ 、半径 $3$ ，判断点 $P (2, 4)$ 、 $Q (2, 2)$ 、 $R (0, 3)$ 与圆的位置关系。
圆 $O$ 半径为 $1$ ，圆心到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，问直线与圆有几个公共点。
直角三角形两直角边 $6$ 、 $8$ ，求内切圆半径。

看答案

1. $O P = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}$ ， $\sqrt{20}$ 大于 $3$ ， $P$ 在圆外； $O Q = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \approx 2.83$ 小于 $3$ ， $Q$ 在圆内； $O R = 3$ 等于半径， $R$ 在圆上。

2. $\sqrt{2}$ 大于 $1$ ，相离，没有公共点。

3. 斜边 $10$ ， $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ 。

一句话收束

位置关系统一成 $d$ 与 $r$ 的比较；切线带来垂直与对称，直角三角形内切圆半径用 $\frac{a + b - c}{2}$ 秒杀。

看完了？ 去圆做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。