圆的基本性质与对称性

圆上每一点到圆心的距离都等于半径；圆内点的距离小于半径，圆外点的距离大于半径。判断点与圆的位置关系，只需比较 $d$ 与 $r$：$d=r$ 在圆上，$d$ 小于 $r$ 在圆内，$d$ 大于 $r$ 在圆外。反过来，“到定点 $O$ 距离等于定长 $r$”的点全在圆上，这就是轨迹思想的第一课。

圆是中心对称图形（对称中心是圆心），也是轴对称图形（任何过圆心的直线都是对称轴）。垂径定理正是轴对称性的直接推论。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。它的逆命题同样成立：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。

做题时的标准动作是连半径、作弦心距：设弦心距 $d$、弦长一半 ${\displaystyle \frac{a}{2}}$、半径 $r$，三者构成直角三角形，满足

一个方程三个量，知道两个求第三个。弦心距越大弦越短，直径是“弦心距为零”的特例。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，反过来也成立。这三者“一荣俱荣”：圆心角相等推出弧相等推出弦相等，弦心距也随之相等。

度数记号要分清：弧的度数等于它所对圆心角的度数，但弧长与度数是两回事——在半径不同的圆中，度数相同的弧长度不同。

• 扇形面积 $S={\displaystyle \frac{n\pi r^2}{360}}={\displaystyle \frac{1}{2}}lr$，其中 $n$ 是圆心角度数，$l$ 是弧长；
• 弓形面积等于扇形面积减（或加）等腰三角形面积：劣弧弓形用减，优弧弓形用加；
• 弧长 $l={\displaystyle \frac{n\pi r}{180}}$。

遇到组合图形，先拆成扇形、三角形、弓形三件套，再用加减拼出来。

例1 弦心距方程

半径为 $10$ 的圆中，一条弦长为 $16$，求圆心到这条弦的距离。

解：作弦心距 $d$，弦被垂足平分为 $8$，连半径得直角三角形：

$$d^2+8^2={10}^2,d^2=36,d=6.$$

弦心距为 $6$。

例2 两条平行弦

圆 $O$ 的半径为 $5$，弦 $AB=6$、$CD=8$，且 $AB\parallel CD$，求两弦之间的距离。

解：弦心距分别算：$AB$ 的弦心距 $\sqrt{25-9}=4$，$CD$ 的弦心距 $\sqrt{25-16}=3$。

平行弦在圆心同侧时距离为 $4-3=1$，异侧时距离为 $4+3=7$。

答案有两解，漏掉异侧情形是最常见的失误。

例3 弓形面积

半径为 $6$、圆心角为 ${120}^{\circ }$ 的扇形，求其劣弧弓形的面积。

解：扇形面积 $S_1={\displaystyle \frac{120}{360}}\pi ·36=12\pi$。

圆心角 ${120}^{\circ }$ 的等腰三角形两边为 $6$、夹角 ${120}^{\circ }$，面积 $S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}·6·6·\sin {120}^{\circ }=9\sqrt{3}$。

弓形面积 $=S_1-S_2=12\pi -9\sqrt{3}$。