圆幂定理与托勒密定理

定点 $P$ 与圆 $O$（半径 $r$，$OP=d$）：过 $P$ 的任一条直线交圆于 $A$、$B$，乘积 $PA·PB$ 是定值

$P$ 在圆内为 $r^2-d^2$，在圆外为 $d^2-r^2$。三种经典形态：

• 相交弦定理：圆内两弦 $AB$、$CD$ 交于 $P$，$PA·PB=PC·PD$；
• 割线定理：圆外点 $P$ 的两条割线，$PA·PB=PC·PD$；
• 切割线定理：切线 $PT$ 与割线 $PAB$，$P{T}^2=PA·PB$。

证明都用“乘积式 $\to$ 相似”：连接四个端点找一对相似三角形（公共角或对顶角加同弧圆周角）。

圆内接四边形 $ABCD$：

两对角线的乘积等于两组对边乘积之和。取等号的前提是共圆；不共圆的四边形对应的是托勒密不等式 $AC·BD\le AB·CD+AD·BC$，竞赛里常反过来用它证四点共圆或估界。证明的经典做法是在 $AC$ 上取一点 $E$ 使 $\angle ABE=\angle DBC$，拆出两对相似三角形。

• 图里出现“两条线都过同一点、各交圆两次”，先写圆幂等式，再让公共乘积当桥梁；
• 已知切线长或需要造 $PA·PB$ 时，切割线是把平方换成乘积的钥匙；
• 圆内接四边形已知四边求对角线，托勒密通常一步到位。

例1 相交弦

圆内两弦 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $P$，$PA=4$、$PB=6$、$PC=3$，求 $PD$ 与圆的半径能取的最小值。

解：相交弦定理 $PA·PB=PC·PD$：$24=3·PD$，$PD=8$。

两条弦过同一定点，弦可旋转。设 $OP=d$，圆幂 $r^2-d^2=PA·PB=24$，即 $r^2=24+d^2\ge 24$，半径最小为 $2\sqrt{6}$（此时 $P$ 与圆心重合，两弦都是直径）。

例2 切割线

$P$ 在圆外，$PT$ 切圆于 $T$，$PT=6$，割线 $PAB$ 依次交圆于 $A$、$B$，$PA=4$，求 $AB$ 与 $OP$ 能否等于 $2\sqrt{10}$。

解：切割线定理 $P{T}^2=PA·PB$：$36=4·PB$，$PB=9$，$AB=PB-PA=5$。

设半径 $r$、$OP=d$，则 $d^2-r^2=36$。若 $d=2\sqrt{10}$，$r^2=40-36=4$，$r=2$，自洽（$d$ 大于 $r$，$P$ 确在圆外），所以可以等于。

例3 托勒密

圆内接四边形 $ABCD$ 中 $AB=2$、$BC=3$、$CD=4$、$DA=5$，求对角线 $AC·BD$ 的值；再求当 $\angle BAD={90}^{\circ }$ 时 $BD$ 与 $AC$。

解：托勒密定理：

$$AC·BD=AB·CD+BC·DA=2\times 4+3\times 5=23.$$

若 $\angle BAD={90}^{\circ }$，则 $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$，于是 $AC={\displaystyle \frac{23}{\sqrt{29}}}={\displaystyle \frac{23\sqrt{29}}{29}}$。

已知四边、只问对角线乘积时托勒密独立解决；一旦多给一个角，勾股与托勒密联立即可各自解出。