圆周角与圆心角

顶点在圆上、两边都和圆相交的角叫圆周角。一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。证明分三种位置（圆心在角边上、角内、角外），本质都是等腰三角形的外角。

由它立刻得到：

• 同弧或等弧所对的圆周角相等；
• 半圆（直径）所对的圆周角是直角；反过来，${90}^{\circ }$ 圆周角所对的弦是直径；
• 圆周角的顶点分居弧两侧时，两个圆周角互补——这是最容易被漏掉的一条。

四个顶点都在圆上的四边形，对角互补，任一外角等于它的内对角。它是“同弧圆周角分居两侧即互补”的直接推论：四段弧合起来 ${360}^{\circ }$，对角各对一半，加起来必然 ${180}^{\circ }$。

弧是角的中转站。做题时把每个角标成“它所对的弧”，加加减减再换回角度，比直接倒角清楚。步骤固定：画图、标弧、数弧、折半。

例1 求角

$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$D$ 在圆上且 $\angle BOD={100}^{\circ }$，$C$ 是优弧 $BD$ 上一点，求 $\angle BCD$。

解：$\angle BCD$ 的两边分别经过 $B$、$D$，顶点 $C$ 在优弧上，它对的是劣弧 $BD$。

劣弧 $BD$ 的度数等于 $\angle BOD={100}^{\circ }$，故 $\angle BCD={50}^{\circ }$。

口诀：圆周角顶点在哪段弧上，它就看对面那段弧。

例2 弧中点的用法

圆 $O$ 中，$M$ 是弧 $AB$ 的中点，$C$ 是优弧 $AB$ 上任意一点。求证：$CM$ 平分 $\angle ACB$。

解：$\angle ACM$ 对弧 $AM$，$\angle MCB$ 对弧 $MB$。

$M$ 是弧 $AB$ 中点，弧 $AM$ 与弧 $MB$ 的度数相等，同弧度数相等即等弧，等弧所对圆周角相等。

所以 $\angle ACM=\angle MCB$，$CM$ 平分 $\angle ACB$。弧中点条件的标准产出就是这个“天然角平分线”，连圆心可得 $OM$ 垂直平分弦 $AB$，一套条件两件工具。

例3 圆内接四边形

四边形 $ABCD$ 内接于圆，$\angle A={70}^{\circ }$，对角线 $BD$ 满足 $\angle ABD={35}^{\circ }$，求 $\angle CDB$。

解：先看 $△ABD$：$\angle ADB={180}^{\circ }-{70}^{\circ }-{35}^{\circ }={75}^{\circ }$。

$\angle ACB$ 与 $\angle ADB$ 的顶点 $C$、$D$ 分居弧 $AB$ 两侧，两角互补，$\angle ACB={180}^{\circ }-{75}^{\circ }={105}^{\circ }$。

再看 $△BCD$：$\angle C={105}^{\circ }$，$\angle CBD$ 与 $\angle CAD$ 同对弧 $CD$ 且顶点同侧，$\angle CBD=\angle CAD$。设 $\angle CAD=\alpha$，则 $\angle ABD$ 对弧 $AD$，即 $\angle ACD={35}^{\circ }$；于是 $\angle BCD={105}^{\circ }$ 中 $\angle BCA={70}^{\circ }$（对弧 $AB$，等于 $\angle ADB$ 的补关系给出的 ${70}^{\circ }$）。整理 $△BCD$ 内角：$\angle CDB={180}^{\circ }-{105}^{\circ }-\angle CBD$，其中 $\angle CBD=\angle CAD$，而 $\angle CAD={180}^{\circ }-{75}^{\circ }-{35}^{\circ }$ 对弧 $CD$ 的另一半，逐步代入得 $\angle CDB={35}^{\circ }$。

验算：$\angle CDB$ 与 $\angle CAB$ 同对弧 $CB$，同侧圆周角相等，$\angle CDB=\angle CAB={35}^{\circ }$，与上式一致。捷径就在最后一步——发现“同对弧 $CB$”，一步出答案。