二元二次方程组：消元才是主线

二元二次方程组，两个方程、两个未知数，理论上一定能解。但硬消元常常算出一堆高次项，所以先看结构，路线大致三条：

例1 和与积

解方程组 $\{\begin{array}{c}x+y=5xy=6\hfill \end{array}$

解：这就是韦达定理的逆用：$x,y$ 是方程 $t^2-5t+6=0$ 的两根。

解得 $t=2$ 或 $t=3$，所以 $$(x,y)=(2,3)\text{或}(3,2)$$ 两个都要写，因为 $x,y$ 地位对称、可以互换。

例2 平方和加和

解方程组 $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=25x+y=7\hfill \end{array}$

解：先用平方和公式把 $xy$ 求出来： $$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy⟹25=49-2xy⟹xy=12$$ 题目化成了例1的样子：和为 $7$、积为 $12$，$x,y$ 是 $t^2-7t+12=0$ 的两根。

解得 $t=3$ 或 $t=4$，所以 $(x,y)=(3,4)$ 或 $(4,3)$。

例3 平方差先拆

解方程组 $\{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=0x+y=6\hfill \end{array}$

解：第一个方程因式分解： $$(x-y)(x+y)=0⟹x=y\text{或}x=-y$$ 分别与 $x+y=6$ 联立：

若 $x=y$，则 $2x=6$，$x=y=3$；

若 $x=-y$，则 $x+y=0$，与 $x+y=6$ 矛盾，无解。

所以方程组的解是 $(3,3)$。

例4 代入消元

解方程组 $\{\begin{array}{c}x-y=1x^2+y^2=13\hfill \end{array}$

解：由第一个方程得 $x=y+1$，代入第二个： $$(y+1{)}^2+y^2=13⟹2y^2+2y+1=13⟹y^2+y-6=0$$ 解得 $y=2$ 或 $y=-3$。

对应 $x=3$ 或 $x=-2$，所以 $$(x,y)=(3,2)\text{或}(-2,-3)$$

代入时用一次方程表示一个未知数，别去表示二次的，否则次数只会越代越高。

例5 对称方程组

解方程组 $\{\begin{array}{c}x+y+xy=11x^{2}y+x{y}^2=30\hfill \end{array}$

解：两个方程都只含 $x+y$ 和 $xy$ 的组合。第二个左边可以提公因式： $$x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)$$ 设 $u=x+y$，$v=xy$，方程组变成 $$\{\begin{array}{c}u+v=11uv=30\hfill \end{array}$$ 所以 $u,v$ 是 $t^2-11t+30=0$ 的两根，即 $5$ 和 $6$。

情形一 $u=5,v=6$：$x,y$ 是 $t^2-5t+6=0$ 的两根，$t=2,3$，得 $(2,3),(3,2)$。

情形二 $u=6,v=5$：$x,y$ 是 $t^2-6t+5=0$ 的两根，$t=1,5$，得 $(1,5),(5,1)$。

四组解都要写全。

两个二次方程联立，几何上是两条二次曲线求交点。按一般情形，交点最多 $4$ 个，所以解最多 $4$ 组。

这条上限可以当自查用：

• 只写出 $2$ 组就收笔，多半漏了；
• 对称方程组一次给出两对，两种情形合起来常常是 $4$ 组；
• 若某个分支解出"无解"，要确认是真的无解（比如 $\Delta <0$、或者与另一个方程矛盾），不是算错。

反过来，$1$ 组、$3$ 组解也都是正常的——上限只是上限，不是配额。