分式方程与无理方程：增根从哪来

解方程时做的每一步，最好都是等价变形：变形前后解集相同。但有两类操作不是：

• 两边同乘一个含未知数的式子：如果这个式子的值可能为 $0$，等式仍然成立，但原来分母为零、根本没定义的那种 $x$ 就被“混”进来了。
• 两边同时平方：$A=B$ 能推出 $A^2=B^2$，反过来不成立，因为 $A=-B$ 也满足平方相等。

两种操作都会扩大解集。多出来的那些解叫增根，也就是伪解。

把求出来的值代回原方程（不是变形后的方程）：

• 分式方程：看分母是否为零，为零就舍；
• 无理方程：看根号内是否为负，看两边符号是否一致，不合理就舍。

例1 标准的分式方程

解方程 ${\displaystyle \frac{2}{x-1}}={\displaystyle \frac{3}{x+1}}$。

解：两边同乘 $(x-1)(x+1)$： $$2(x+1)=3(x-1)⟹2x+2=3x-3⟹x=5$$ 验根：$x=5$ 时两个分母分别是 $4$ 和 $6$，都不为零，成立。

所以原方程的解是 $x=5$。

例2 全员增根：一个解都留不下

解方程 ${\displaystyle \frac{x}{x-3}}=3+{\displaystyle \frac{3}{x-3}}$。

解：两边同乘 $x-3$： $$x=3(x-3)+3⟹x=3x-6⟹x=3$$ 验根：$x=3$ 时原方程的分母 $x-3=0$，原式无意义。

所以 $x=3$ 是增根，原方程无解。

这类题的答案是“无解”，不是“$x=3$”。写后者会被判错。

例3 平方引入伪解

解方程 $\sqrt{x+3}=x-3$。

解：先看定义域，$x+3\ge 0$，即 $x\ge -3$。再看右边：左边是算术平方根，非负，所以必须 $x-3\ge 0$，即 $x\ge 3$。

两边平方： $$x+3=x^2-6x+9⟹x^2-7x+6=0⟹x=1\text{或}x=6$$ 验根：$x=1$ 时右边 $1-3=-2<0$，而左边 $\sqrt{4}=2$，不成立，舍去。$x=6$ 时左边 $3$，右边 $3$，成立。

所以原方程的解是 $x=6$。

平方之前先把符号范围定下来，能省掉一半检验工作。

例4 两个根号：先移项再平方

解方程 $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=3$。

解：定义域要求 $x\ge 3$。

两边平方（左边按完全平方展开）： $$x+(x-3)+2\sqrt{x(x-3)}=9⟹2\sqrt{x(x-3)}=12-2x$$ 即 $\sqrt{x(x-3)}=6-x$。左边非负，所以必须 $x\le 6$。

再平方：$x(x-3)=(6-x{)}^2$，展开得 $$x^2-3x=36-12x+x^2⟹9x=36⟹x=4$$ 验根：$\sqrt{4}+\sqrt{1}=2+1=3$，成立，且 $3\le 4\le 6$。

所以原方程的解是 $x=4$。

含两个根号时，先移一项到另一边再平方，否则展开后根号还在、次数还升高。

例5 分式方程的整数解

求方程 ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 的所有正整数解。

解：两边同乘 $2xy$： $$2y+2x=xy⟹xy-2x-2y=0$$ 两边加 $4$ 配方（这是 $(x-2)(y-2)$ 的展开式）： $$(x-2)(y-2)=4$$ $x,y$ 是正整数，所以 $x-2,y-2$ 都是 $4$ 的约数，且为正：$4$ 的正约数对有 $(1,4),(2,2),(4,1)$。

对应解：$(x,y)=(3,6),(4,4),(6,3)$。

三组都验过，分母都不为零。

这题的技巧叫分离常数：把 $xy$ 型的分式方程凑成“两个括号相乘等于常数”，然后靠约数枚举。