高次方程：先想办法把次数降下来

一元二次方程有求根公式，三次、四次虽然理论上也有公式，但中学阶段完全用不上。高次方程的正路只有一条：把它拆成若干个次数更低的方程相乘等于零。

拆的办法就三类：

如果多项式 $P(x)$ 满足 $P(r)=0$，那么 $x-r$ 就是它的一次因式。

整数系数多项式若有整数根，根一定是常数项除以最高次项系数得到的那些约数之一。所以试根不用乱猜，把候选列出来逐个代进去即可。

例1 双二次：只有一个字母的偶数次幂

解方程 $x^4-5x^2+4=0$。

解：只有 $x^4$、$x^2$ 和常数。令 $t=x^2$，方程变成 $$t^2-5t+4=0$$ 分解得 $(t-1)(t-4)=0$，所以 $t=1$ 或 $t=4$。

回代：$x^2=1$ 得 $x=\pm 1$；$x^2=4$ 得 $x=\pm 2$。

原方程有四个实根：$x=\pm 1,\pm 2$。

换元之后一定要回代，这是这类题唯一的失分点。

例2 试根：先猜一个根出来

解方程 $x^3-3x+2=0$。

解：没有二次项，说明配方之类不好用，直接试根。常数项是 $2$，候选是 $\pm 1,\pm 2$。

代 $x=1$：$1-3+2=0$，中了。所以 $x-1$ 是因式。

做除法： $$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x+2)(x-1)=(x-1{)}^2(x+2)$$ 所以 $x=1$（二重根）或 $x=-2$。

注意 $x=1$ 出现了两次：因式分解里是 $(x-1{)}^2$，答案是“两个相等的根”，别只写一个。

例3 配对：四个括号连乘

解方程 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24$。

解：四个括号的常数项 $1,2,3,4$ 首尾配对，乘出来结构一样： $$(x+1)(x+4)=x^2+5x+4,(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$$ 令 $t=x^2+5x$，方程化成 $$(t+4)(t+6)=24⟹t^2+10t=0$$ 所以 $t=0$ 或 $t=-10$。

回代：$x^2+5x=0$ 得 $x=0$ 或 $x=-5$；$x^2+5x=-10$ 得 $x^2+5x+10=0$，$\Delta =25-40<0$，无实根。

所以原方程的实根是 $x=0$ 和 $x=-5$。

例4 倒数结构

已知 $x^2-3x+1=0$，求 $x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ 和 $x^4+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}$。

解：先确认 $x\ne 0$（$x=0$ 代进去得 $1=0$，不成立），两边同除以 $x$： $$x-3+\frac{1}{x}=0⟹x+\frac{1}{x}=3$$ 两边平方： $$x^2+2+\frac{1}{x^2}=9⟹x^2+\frac{1}{x^2}=7$$ 再平方一次： $$x^4+2+\frac{1}{x^4}=49⟹x^4+\frac{1}{x^4}=47$$

这个结构的信号是“系数首尾对称”：$1,-3,1$。看到这种系数，先想除以 $x$。

例5 用因式定理反求参数

已知 $x^3+a{x}^2+bx-6$ 有因式 $x-1$ 和 $x-2$，求 $a,b$。

解：有因式 $x-1$ 意味着代 $x=1$ 得 $0$： $$1+a+b-6=0⟹a+b=5$$ 有因式 $x-2$ 意味着代 $x=2$ 得 $0$： $$8+4a+2b-6=0⟹2a+b=-1$$ 两式相减得 $a=-6$，再代回得 $b=11$。

验证：$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$，确实含这两个因式。