初中数学竞赛 · 方程与方程组

含字母系数的方程：先把情况分清楚

字母系数一动，“二次方程”可能根本不是二次的。分类讨论没做全，后面算得再对也是错答案。

九~九年级难度 ★★★14 分钟

第一个要问的问题

看到 $(m - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 这样的式子，先别急着写 $Δ$ 。先问一句：它一定是二次方程吗？

如果 $m = 1$ ，二次项直接消失，方程变成 $- 2 x + 1 = 0$ ，这是另一个问题。漏掉这一步，答案就少一块。

两类讨论

二次项系数是否为 0：为 0 时退化成一次方程，单独算。
$Δ$ 的符号：决定有没有实根、有一个还是两个。

根的符号怎么判断

设两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，在 $Δ \geq 0$ 的前提下：

条件	结论
$x_{1} x_{2} > 0$ 且 $x_{1} + x_{2} > 0$	两根同为正
$x_{1} x_{2} > 0$ 且 $x_{1} + x_{2} < 0$	两根同为负
$x_{1} x_{2} < 0$	一正一负

注意这些判断都要在 $Δ \geq 0$ 之后做，否则讨论的是不存在的根。

例题

例1 最简单的分类

解关于 $x$ 的方程 $a x = 3$ 。

解：这个方程是否为一元一次方程，取决于 $a$ 。

若 $a \neq 0$ ，两边同除以 $a$ ，得 $x = \frac{3}{a}$ 。

若 $a = 0$ ，方程变成 $0 = 3$ ，无论 $x$ 取什么都成立不了，无解。

一次方程尚且要分类，何况带平方的。

例2 退化的情形别丢

关于 $x$ 的方程 $(m - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实根，求 $m$ 的取值范围。

解：分两种情况。

情形一 $m = 1$ ：方程变成 $- 2 x + 1 = 0$ ，有实根 $x = \frac{1}{2}$ ，符合要求。

情形二 $m \neq 1$ ：此时是二次方程， $Δ = 4 - 4 (m - 1) = 8 - 4 m \geq 0 ⟹ m \leq 2$ 与 $m \neq 1$ 合并仍是 $m \leq 2$ 。

两种情况合起来，答案是 $m \leq 2$ 。

如果只算第二种，会漏掉 $m = 1$ ；如果只写 $m \leq 2$ 又没说明 $m = 1$ 怎么来的，逻辑上缺一块。

例3 两根都是正数

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ 有两个正根，求 $m$ 的取值范围。

解：三个条件要同时满足。

$Δ \geq 0$ ： $4 m^{2} - 4 (m + 2) \geq 0$ ，即 $m^{2} - m - 2 \geq 0$ ，得 $m \leq - 1$ 或 $m \geq 2$ 。

两根之和 $2 m > 0$ ，得 $m > 0$ 。

两根之积 $m + 2 > 0$ ，得 $m > - 2$ 。

三个范围取交集，只有 $m \geq 2$ 。

例4 两根互为相反数

已知方程 $x^{2} - (k + 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 的两根互为相反数，求 $k$ 。

解：两根互为相反数，意味着两根之和为 $0$ ： $k + 1 = 0 ⟹ k = - 1$ 代回去验证：方程变成 $x^{2} + 0 \cdot x + 1 - 1 = 0$ ，即 $x^{2} = 0$ ，根是 $0$ 和 $0$ 。

$0$ 的相反数就是 $0$ ，符合“互为相反数”，且 $Δ = 0 \geq 0$ 。所以 $k = - 1$ 。

求出参数必须回代验证，这是这类题的固定收尾动作。

例5 有两个实数根

关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有两个实数根，求 $m$ 的取值范围。

解：题目说“有两个实数根”，而不是“有两个不相等的实数根”，所以包括重根，条件是 $Δ \geq 0$ 。

首先它必须是二次方程： $m \neq 0$ 。

其次 $Δ = 9 - 4 m \geq 0 ⟹ m \leq \frac{9}{4}$ 合并得 $m \leq \frac{9}{4}$ 且 $m \neq 0$ 。

三个坑

不问二次项系数： $m = 0$ 或 $m = 1$ 这类退化情形，是这类题最常见的失分点。
“有两个实数根”当成“有两个不相等实根”：前者是 $Δ \geq 0$ ，后者是 $Δ > 0$ 。
算出参数不验证：韦达给出的条件只是必要的， $Δ$ 可能小于零，必须回代。

练习（先做，再看答案）

解关于 $x$ 的方程 $a x - 2 = 0$ （对 $a$ 分类）。
若方程 $(k - 2) x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有实根，求 $k$ 的范围。
若方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ 的两根之积为 $3$ ，求 $m$ 。
若方程 $x^{2} - (2 a - 1) x + a^{2} = 0$ 有两个正根，求 $a$ 的范围。
若方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 只有一个实数根，求 $a$ 。

看答案

1. $a \neq 0$ 时 $x = \frac{2}{a}$ ； $a = 0$ 时方程变为 $- 2 = 0$ ，无解。

2. $k = 2$ 时是一次方程 $3 x - 1 = 0$ ，有根； $k \neq 2$ 时 $Δ = 9 + 4 (k - 2) \geq 0$ ，得 $k \geq - \frac{1}{4}$ 。合并为 $k \geq - \frac{1}{4}$ 。

3. 积为 $m^{2} - 1 = 3$ ，得 $m = \pm 2$ 。检验 $Δ = 4 m^{2} - 4 (m^{2} - 1) = 4 > 0$ ，两个值都成立。

4. $Δ = (2 a - 1)^{2} - 4 a^{2} = 1 - 4 a \geq 0$ 得 $a \leq \frac{1}{4}$ ；和 $2 a - 1 > 0$ 得 $a > \frac{1}{2}$ ；积 $a^{2} > 0$ 得 $a \neq 0$ 。前两个条件矛盾，所以不存在这样的 $a$ 。

5. 分两种： $a = 0$ 时 $2 x + 1 = 0$ ，恰有一个根 $x = - \frac{1}{2}$ ； $a \neq 0$ 时若只有一个实根需 $Δ = 4 - 4 a = 0$ ，得 $a = 1$ 。所以 $a = 0$ 或 $a = 1$ 。

一页速记

见到字母系数，第一句问“二次项系数是不是 0”
“有实根”“有两个实根”是 $Δ \geq 0$ ，“两个不相等实根”是 $Δ > 0$
两根同号看积，同号后看和定正负；一正一负看积为负
参数算出来必须回代验证 $Δ$ 与退化情形
互为相反数 $\Rightarrow$ 和为 0；互为倒数 $\Rightarrow$ 积为 1

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