初中数学竞赛 · 方程与方程组

判别式：先看根长什么样

拿到一元二次方程，先别急着解。算一下判别式，根是两根、一根还是没有，答案已经出来了。

八~九年级难度 ★★☆11 分钟

判别式只回答一个问题

对一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ），记

Δ = b^{2} - 4 a c

它不回答根是多少，只回答根有几个、长什么样：

$Δ$	根的情况
$Δ > 0$	两个不相等的实根
$Δ = 0$	两个相等的实根（重根）
$Δ < 0$	没有实根

这句话有个前提容易被忽略：它只管二次方程。二次项系数等于 $0$ 时方程退化成一元一次，判别式这套说法就不适用了。

三种常见用法

判断根的性质：不解方程，直接看有几个根。
反求参数范围：题目给“有两个实根”，把 $Δ$ 的不等式列出来解参数。
证明恒成立： $Δ \leq 0$ 加上开口向上，就能说明二次式恒非负。

先判断，再计算

$Δ$ 的符号决定“有没有”，韦达定理决定“是多少”。做题顺序是先看 $Δ$ ，再看韦达，颠倒过来常会算出根本不存在的根。

例题

例1 判断根的情况

不解方程，判断 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的根的情况。

解： $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 3 \times 2 = 25 - 24 = 1 > 0$ ，有两个不相等的实根。

顺带一提，这个方程能直接分解： $(3 x - 2) (x - 1) = 0$ ，两根是 $\frac{2}{3}$ 和 $1$ 。判别式只告诉你“有两个”，具体是多少还得另想。

例2 反求参数

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实根，求 $m$ 的取值范围。

解： $Δ = (- 2)^{2} - 4 m = 4 - 4 m$ 。

要求 $Δ > 0$ ，即 $4 - 4 m > 0$ ，得 $m < 1$ 。

例3 证明一定有实根

证明：对任意实数 $a$ ，方程 $x^{2} - a x + a - 1 = 0$ 一定有实根。

解： $Δ = (- a)^{2} - 4 (a - 1) = a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ 。

平方非负，所以对任意 $a$ 都有 $Δ \geq 0$ ，方程一定有实根。顺带还能看出： $a = 2$ 时 $Δ = 0$ ，是重根。

这类题的套路是把判别式本身再配一次方，让符号一目了然。

例4 判别式与图象交点

抛物线 $y = x^{2} + 2 x + m$ 与 $x$ 轴： $m$ 取何值时有两个交点、一个交点、没有交点？

解：抛物线与 $x$ 轴的交点，就是方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 的实根。

$Δ = 4 - 4 m$ 。所以 $m < 1$ 时两个交点， $m = 1$ 时一个交点（顶点落在 $x$ 轴上）， $m > 1$ 时没有交点。

例5 用判别式证不等式

证明：对任意实数 $x$ ， $x^{2} - 3 x + 3 > 0$ 。

解： $Δ = 9 - 12 = - 3 < 0$ 。二次项系数 $1 > 0$ ，抛物线开口向上，且与 $x$ 轴没有交点，所以整条抛物线都在 $x$ 轴上方。

也就是对任意 $x$ ，式子恒大于 $0$ 。

“ $Δ < 0$ 且开口向上”是证明二次式恒正的标准组合，反过来用就是“恒正 $\Rightarrow$ $Δ < 0$ 且开口向上”。

三个坑

忘了先确认二次项系数：题目说“有两个实根”，先看清楚二次项系数是否可能为 $0$ 。
把“有实根”当成“有两个实根”： $Δ \geq 0$ 比 $Δ > 0$ 多一个重根的情形，答案会差一截。
$Δ$ 里符号带丢： $b^{2} - 4 a c$ 中的 $b$ 要连符号一起平方， $c$ 也要带符号。

练习（先做，再看答案）

判断 $2 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ 的根的情况。
若 $x^{2} + k x + 9 = 0$ 有两个相等的实根，求 $k$ 。
证明 $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ 对任意实数 $x$ 成立。
若方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有实根，求 $m$ 能取到的最大整数。
抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 与 $x$ 轴没有交点，求 $c$ 的取值范围。

看答案

1. $Δ = 9 - 40 = - 31 < 0$ ，没有实根。

2. $Δ = k^{2} - 36 = 0$ ，得 $k = \pm 6$ 。

3. $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ ，二次项系数 $1 > 0$ ，开口向上且不与 $x$ 轴相交，恒正。

4. $Δ = 16 - 4 m \geq 0$ ，得 $m \leq 4$ ，最大整数是 $4$ 。

5. $Δ = 16 - 8 c < 0$ ，得 $c > 2$ 。

一页速记

$Δ = b^{2} - 4 a c$ ，只管二次方程
$Δ > 0$ 两根， $= 0$ 重根， $< 0$ 无实根
反求参数：把 $Δ$ 的不等式解出来
证明恒正： $Δ < 0$ 且开口向上
只知有几个根，不知根是多少，别越界

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