初中数学竞赛 · 方程与方程组

配方法：把二次式变成完全平方

一个字母出现两次，配方之后只出现在平方里。能开方、能求最值、能判断正负——这是后面所有二次问题的基础动作。

八~九年级难度 ★★☆12 分钟

配方到底在做什么

$x^{2} + 6 x + 5$ 里，字母 $x$ 出现了两次，一次是一次的，一次是二次的，很难直接处理。

如果把它写成 $(x + 3)^{2} - 4$ ， $x$ 就只在平方里出现一次，剩下的全是一个常数。原来那个“两头跑”的变量被收进了一个括号。

配方做的就是这件事：把两次出现，换成一次出现加一个尾巴。

标准动作

对 $a x^{2} + b x + c$ （要求 $a \neq 0$ ）：

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

拆成三步看：

提出二次项系数 $a$ ，只提前两项，常数项留在外面；
括号里补上一次项系数一半的平方；
补了多少，立刻减掉多少。

一句话记住

补的是 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ，不是 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ 。系数不是 1 的时候，错都错在这一步。

三个用途

求最值： $a > 0$ 时平方项最小取 $0$ ，整个式子的最小值就是尾巴 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ； $a < 0$ 时平方项最大取 $0$ ，最大值同样是这个尾巴。

解方程：化成 $(x + m)^{2} = n$ ，只要 $n \geq 0$ 就直接开方。

判断符号：写成“平方加尾巴”，尾巴大于 $0$ 就恒正，小于 $0$ 就恒负。

例题

例1 求最小值

求 $2 x^{2} - 8 x + 5$ 的最小值，并指出取最小值时的 $x$ 。

解：先提出 $2$ ，注意只提前两项： $2 x^{2} - 8 x + 5 = 2 (x^{2} - 4 x) + 5$ 括号里一次项系数是 $- 4$ ，一半是 $- 2$ ，平方是 $4$ 。补 $4$ 减 $4$ ： $2 [(x - 2)^{2} - 4] + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$ 平方项最小为 $0$ ，所以原式最小值是 $- 3$ ，此时 $x = 2$ 。

例2 用配方解方程

解方程 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ 。

解：移项，让左边只剩含 $x$ 的项： $x^{2} - 6 x = - 4$ 两边同加 $9$ （ $- 6$ 的一半是 $- 3$ ，平方是 $9$ ）： $x^{2} - 6 x + 9 = 5$ 即 $(x - 3)^{2} = 5$ ，开方得 $x - 3 = \pm \sqrt{5}$ ，所以 $x = 3 \pm \sqrt{5}$ 。

例3 判断恒正

证明：对任意实数 $x, y$ ，都有 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 6 > 0$ 。

解：按字母分组配。含 $x$ 的一组补 $1$ ，含 $y$ 的一组补 $4$ ，多出来的凑进常数： $(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) + 1 = (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + 1$ 两个平方都非负，再加 $1$ ，整体至少是 $1$ ，当然大于 $0$ 。

例4 由配方读出未知数

已知 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 6 b + 13 = 0$ ，求 $a + b$ 。

解：配方得 $(a - 2)^{2} + (b + 3)^{2} = 0$ 两个非负数相加等于 $0$ ，只能各自为 $0$ ： $a = 2$ ， $b = - 3$ 。

所以 $a + b = - 1$ 。

这道题的信号很明确：一个等式里出现两个平方结构，八成就是要你配方后“逼”出每个未知数。

例5 求根公式是怎么来的

用配方法解一般的一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 。

解：移项得 $x^{2} + p x = - q$ 。两边加上 $\frac{p^{2}}{4}$ ： ${(x + \frac{p}{2})}^{2} = \frac{p^{2} - 4 q}{4}$ 记 $Δ = p^{2} - 4 q$ 。右边是负数时无解；非负时开方： $x + \frac{p}{2} = \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2}, x = \frac{- p \pm \sqrt{Δ}}{2}$ 求根公式不是规定出来的，是配方配出来的。

三个坑

配错一半：系数不是 $1$ 时，补的是 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ，套成 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ 就全错。
只加不减：加了多少必须当场减掉，不然式子的值已经变了，后面所有结论都不成立。
提系数只提一项： $2 x^{2} - 8 x$ 提 $2$ 之后是 $2 (x^{2} - 4 x)$ ，千万别写成 $2 x^{2} - 4 x$ 。

练习（先做，再看答案）

把 $x^{2} + 10 x + 21$ 写成 $(x + m)^{2} + n$ 的形式。
求 $3 x^{2} + 6 x - 1$ 的最小值。
解方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 。
证明对任意实数 $x, y$ ， $x^{2} - 4 x + y^{2} + 2 y + 8 > 0$ 。
已知 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 10 = 0$ ，求 $x^{y}$ 。

看答案

1. $x^{2} + 10 x + 21 = (x + 5)^{2} - 4$ 。

2. $3 (x^{2} + 2 x) - 1 = 3 (x + 1)^{2} - 4$ ，最小值 $- 4$ ，此时 $x = - 1$ 。

3. $(x + 2)^{2} = 5$ ， $x = - 2 \pm \sqrt{5}$ 。

4. $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 3$ ，至少为 $3$ ，大于 $0$ 。

5. $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ ，所以 $x = - 1$ ， $y = 3$ ， $x^{y} = (- 1)^{3} = - 1$ 。

一页速记

配方 = 提系数 + 补一半的平方 + 减回去
目的是让字母只出现在平方里
平方项非负，这是求最值、判符号的全部依据
$a \neq 0$ 时补的是 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$
求根公式是配方的产物，不是背下来的规定

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