韦达定理：不解方程也能算

设 $x_1,x_2$ 是 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$，$\Delta \ge 0$）的两根，则

就这么两个式子，但它把“根”和“系数”连了起来：不用解方程，也能算出任何关于两根的对称式。

所谓对称式，就是交换 $x_1$ 和 $x_2$ 之后不变的式子，比如 $x_1^2+x_2^2$、${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$、$|x_1-x_2|$。

第三条特别有用：两根之差不是对称式，但它的平方是。所以凡是出现“两根之差”的题，先平方。

例1 平方和

设 $x_1,x_2$ 是 $2x^2-3x-4=0$ 的两根，求 $x_1^2+x_2^2$。

解：由韦达定理，$x_1+x_2={\displaystyle \frac{3}{2}}$，$x_1{x}_2=-2$。

$$x_1^2+x_2^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2\times (-2)=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$$

注意 $c=-4$，所以积是 $-2$，代进去时符号别丢。

例2 倒数和

同一个方程，求 ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$。

解：通分后 $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-2}=-\frac{3}{4}$$ 先通分再代入，比分别求两个根再相加快得多。

例3 由两根反造方程

已知一个二次方程的两根是 $2+\sqrt{3}$ 和 $2-\sqrt{3}$，写出这个方程。

解：两根之和为 $4$，之积为 $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$。

以 $x_1,x_2$ 为根的方程可以写成 $x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0$，代入得 $$x^2-4x+1=0$$

这个“反过来用”的写法叫韦达定理的逆用：知道和与积，方程就定了（相差一个非零常数倍）。

例4 两根都是正整数

已知方程 $x^2-5x+m=0$ 的两个根都是正整数，求整数 $m$ 的所有取值。

解：两根之和为 $5$。两个正整数相加等于 $5$，只有 $(1,4)$ 和 $(2,3)$ 两组。

对应 $m$ 等于两根之积：$m=4$ 或 $m=6$。

顺便验证：$m=4$ 时方程是 $x^2-5x+4=0$，根 $1,4$；$m=6$ 时是 $x^2-5x+6=0$，根 $2,3$。都对。

例5 两根之差

已知方程 $x^2-3x+k=0$ 的两根之差为 $1$，求 $k$。

解：两根之差不是对称式，但平方之后就是： $$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=9-4k$$ 两根之差为 $1$，平方就是 $1$，所以 $$9-4k=1⟹k=2$$

检验：$x^2-3x+2=0$ 的两根是 $1$ 和 $2$，差确实为 $1$，且 $\Delta =1>0$。