一元二次方程的整数根：三条路

方程 $x^2-7x+m=0$ 的根是整数，$m$ 可以是哪些值？如果靠猜，很容易漏。

可靠的办法是用上“根是整数”这个条件本身。它至少能推出三件事，每条都对应一条解题路线：

路线一：判别式必须是完全平方。 把 $\Delta$ 写成 $k^2$ 的形式，解出参数。

路线二：韦达列举。 两根之和已知（是个具体整数）时，把和拆成两个整数的所有方式，逐个验证积。

路线三：分离常数。 分式形式的整除问题，把分子拆成“分母的倍数 + 常数”，让整除变成“常数被分母整除”。

例1 韦达列举最快

已知方程 $x^2-7x+m=0$ 的两个根都是正整数，求整数 $m$ 的所有取值。

解：两根之和为 $7$。两个正整数相加等于 $7$，只有三组： $$(1,6),(2,5),(3,4)$$ 对应 $m$ 等于两根之积：$m=6,10,12$。

三组都验过，$\Delta$ 分别为 $25,9,1$，都是完全平方，成立。

例2 分离常数

求所有整数 $n$，使 ${\displaystyle \frac{2n+3}{n-1}}$ 也是整数。

解：把分子拆成“分母的倍数加常数”： $$\frac{2n+3}{n-1}=\frac{2(n-1)+5}{n-1}=2+\frac{5}{n-1}$$ 前一项是整数，所以只要 ${\displaystyle \frac{5}{n-1}}$ 是整数，即 $n-1$ 整除 $5$。

$5$ 的约数是 $\pm 1,\pm 5$，所以 $$n-1\in 1,-1,5,-5⟹n\in 2,0,6,-4$$

分离常数是分式整除问题的通用手法：分子配成分母的倍数，剩下的常数就是全部约束。

例3 判别式必须完全平方

求最小的正整数 $k$，使方程 $x^2-(2k+1)x+k^2-1=0$ 有整数根。

解：先算判别式： $$\Delta =(2k+1{)}^2-4(k^2-1)=4k+5$$ 要有整数根，$\Delta$ 必须是完全平方数。

$k$ 是正整数，最小取 $1$：$\Delta =4+5=9=3^2$，是完全平方。

代回求根：$x={\displaystyle \frac{(2k+1)\pm 3}{2}}$，$k=1$ 时 $x={\displaystyle \frac{3\pm 3}{2}}$，即 $x=3$ 或 $x=0$，都是整数。

所以最小的正整数 $k=1$。

例4 一眼看出一根

解关于 $x$ 的方程 $x^2-(m+1)x+m=0$（$m$ 为整数），并说明根什么时候是整数。

解：这类题先试着代几个简单的值。代 $x=1$： $$1-(m+1)+m=0$$ 恰好成立。所以 $x=1$ 永远是根，另一个根由两根之积给出： $$1·x_2=m⟹x_2=m$$ 于是两根是 $1$ 和 $m$。

只要 $m$ 是整数，两根就都是整数。这个方程对一切整数 $m$ 都有整数根。

形如 $x^2-(p+q)x+pq=0$ 的方程，根一定是 $p$ 和 $q$。认得出这个形状，就不用算 $\Delta$。

例5 参数与完全平方

已知方程 $x^2-4x+k=0$ 的两根都是整数，求整数 $k$ 的所有取值中最大的几个。

解：两根之和为 $4$，是整数。关键是判别式： $$\Delta =16-4k=4(4-k)$$ 要有整数根，$16-4k$ 必须是完全平方。设 $4-k=t^2$（$t$ 为非负整数），则 $k=4-t^2$。

此时两根为 $$x=\frac{4\pm 2t}{2}=2\pm t$$ 只要 $t$ 是整数，两根就是整数。

所以 $k=4,3,0,-5,-12,\dots$，即 $k=4-t^2$（$t=0,1,2,\dots$）。最大的三个是 $4,3,0$。

验证 $k=4$：$x^2-4x+4=0$，根是 $2,2$，成立。