拆项与添项：缺什么就补什么

补一个数再减掉同一个数，式子的值没变。这个小学就懂的事，在因式分解里是造公式的常用手段：

补了 $x^2$ 之后，前三项变成完全平方，整体成了平方差，一下子就分解开了。

一是补平方项。上面的 $x^4+x^2+1$ 就是典型。特征是“首尾是平方，中间项不够两倍积”。

二是拆中间项。十字相乘用不上的时候，把中间的 $bx$ 拆成两截，让前后各自成组。比如 $x^2+5x+6$ 拆成 $x^2+2x+3x+6$，然后分组。

三是系数重组。$x^3+x^2+x+1$ 这种可以直接分组，但 $3x^2-7x+2$ 就要靠拆项或十字相乘。

索菲·热尔曼恒等式：

这个式子的妙处在于：$x^4+4y^4$ 看起来就没法分解（两项、不是平方差），但补一个 $4x^2{y}^2$ 再减掉，就活了。

立方和恒等式：

竞赛里出现频率极高。用的时候常常是反过来：看到 $a^3+b^3+c^3=3abc$，就要立刻想到 $a+b+c=0$ 或 $a=b=c$。

例1 经典补平方

分解因式：$x^4+x^2+1$。

思路：首尾是 $(x^2{)}^2$ 和 $1^2$，中间只有 $x^2$，而完全平方需要 $2x^2$，差一个 $x^2$。

解： $$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1{)}^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$

两个二次因式的判别式都小于零，在实数范围内到此为止。

例2 索菲·热尔曼

分解因式：$x^4+4$。

思路：$x^4+4$ 两项，不是平方差（加号），也不是立方。试试补 $4x^2$。

解： $$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$$

怎么想到补 $4x^2$：完全平方展开是 $x^4+2·x^2·2+4$，中间项是 $4x^2$。目标是凑 $(x^2+2{)}^2$，缺多少补多少。

例3 拆中间项

分解因式：$x^3-x^2-x+1$。

思路：四项，二二分组试试。前两项提 $x^2$ 得 $x^2(x-1)$，后两项提 $-1$ 得 $-(x-1)$。

解： $$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)=(x-1{)}^2(x+1)$$

这道题不需要拆项，分组就够。放这里是想说：拆项是最后手段，能分组就先分组。

例4 三项凑立方和

分解因式：$a^3+b^3+c^3-3abc$。

思路：直接看不出来。回想立方和公式 $(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$，把 $c$ 当成第三个数往里凑。

解：先补出 $(a+b{)}^3$： $$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$$ 代回原式： $$(a+b{)}^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b{)}^3+c^3-3ab(a+b+c)$$ 前两项用立方和： $$(a+b+c)[(a+b{)}^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)$$ 提出 $(a+b+c)$，中括号里合并： $$(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

例5 补项后用平方差

分解因式：$a^4-3a^2+1$。

思路：三项，首尾是平方，中间是 $-3a^2$，而完全平方需要 $-2a^2$，多了一个 $a^2$。多就拆掉。

解： $$a^4-3a^2+1=a^4-2a^2+1-a^2=(a^2-1{)}^2-a^2=(a^2-a-1)(a^2+a-1)$$

少就补，多就拆，方向都由“目标公式缺什么”决定。