对称式与轮换式：看结构就能定形状

对称式：交换任意两个字母，式子的值不变。$a^2+b^2+c^2$、$ab+bc+ca$ 都是。

轮换式：把字母按顺序轮换（$a\to b\to c\to a$），值不变。$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ 是轮换式，但不是对称式——交换 $a,b$ 就变了。

任何对称多项式都能写成它们的组合，这是对称多项式的基本定理。常用的几条：

背不下来也没关系，现场用 $\sigma$ 展开推一遍，比记错强。

轮换式有个很好用的性质：如果它是反对称的（交换两个字母变号），那么它一定含有因式 $(a-b)(b-c)(c-a)$。

理由很直接：交换 $a,b$ 变号，说明 $a=b$ 时式子为零，于是 $(a-b)$ 是因式；同理 $(b-c)$、$(c-a)$ 都是。三个因式乘起来次数正好，剩下的只是一个对称的系数。

这个结论能把“展开一堆项”变成“定一个系数”。

例1 反对称式的定形

分解因式：$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$。

思路：交换 $a,b$，原式变成 $b^2(a-c)+a^2(c-b)+c^2(b-a)$，正好是原式的相反数，所以它是反对称式，必含 $(a-b)(b-c)(c-a)$。原式三次，这个乘积也三次，两者只差一个常数 $k$。

解：取 $a=1,b=2,c=3$： $$\text{左}=1\times (-1)+4\times 2+9\times (-1)=-1+8-9=-2$$ $$\text{右}=k\times (-1)\times (-1)\times 2=2k$$ 得 $k=-1$，故 $$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)$$

为什么取特值就够：两边都是三次齐次多项式，若恒等，任何取值都相等；反过来定出常数 $k$ 后，等式对所有取值成立。取 $0,1,2$ 或 $1,2,3$ 都行，挑好算的。

例2 对称式的分解

分解因式：$a^3+b^3+c^3-3abc$。

解：这就是基本对称多项式的组合： $$=({\sigma }_1^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2+3{\sigma }_3)-3{\sigma }_3={\sigma }_1({\sigma }_1^2-3{\sigma }_2)$$ 而 ${\sigma }_1^2-3{\sigma }_2=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$，所以 $$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

例3 三项乘积

分解因式：$(a+b)(b+c)(c+a)+abc$。

思路：这是对称式。展开太麻烦，用 $\sigma$：$(a+b)(b+c)(c+a)={\sigma }_1{\sigma }_2-{\sigma }_3$。

解：原式 $={\sigma }_1{\sigma }_2$，即 $(a+b+c)(ab+bc+ca)$。

例4 轮换但不对称

分解因式：$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a{b}^2-b{c}^2-c{a}^2$。

思路：这是两个轮换式相减，结果反对称，必含 $(a-b)(b-c)(c-a)$，且次数为三，所以等于 $k(a-b)(b-c)(c-a)$。

取 $a=0,b=1,c=2$：左边 $=0+1·2+0-0-1·4-0=2-4=-2$；右边 $=k(-1)(-1)(2)=2k$，得 $k=-1$。

解： $$原式=-(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(a-c)$$

例5 用对称性简化

已知 $a+b+c=0$，求 $a^3+b^3+c^3$ 与 $abc$ 的关系。

解：由例2的恒等式，$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(\cdots )=0$，故 $a^3+b^3+c^3=3abc$。

这个结论在竞赛里出现极多，条件“三数之和为零”一出现，就该条件反射想到它。