初中数学竞赛 · 因式分解技巧

二元二次式：选一个字母当主角

两个字母一起看会眼花。挑一个当主元，按它的次数重新排一遍，式子往往立刻露出熟悉的二次三项式形状。

八~九年级难度 ★★★14 分钟

为什么要选主元

$x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} + 3 x + y + 2$ 这样的式子，字母混在一起，看不出该从哪里下手。

但如果规定“以 $x$ 为主元”，按 $x$ 的降幂重新排：

x^{2} + (2 y + 3) x + (- 3 y^{2} + y + 2)

它就变成了一个关于 $x$ 的二次三项式，系数里带着 $y$ 。这时候可以十字相乘，也可以直接算判别式。

选谁当主元

选次数最高的那个字母，或者选系数比较简单的那个。两个字母次数一样时，随便选，选完能算通就行。

判别式法

对 $a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 里可以含 $y$ ），如果 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 是一个完全平方式，那么这个二次式就能分解。

上面那个式子：

Δ = (2 y + 3)^{2} - 4 (- 3 y^{2} + y + 2) = 4 y^{2} + 12 y + 9 + 12 y^{2} - 4 y - 8 = 16 y^{2} + 8 y + 1 = (4 y + 1)^{2}

是完全平方式，说明能分解。求根：

x = \frac{- (2 y + 3) \pm (4 y + 1)}{2}

两个根分别是 $x = y - 1$ 和 $x = - 3 y - 2$ 。于是

x^{2} + (2 y + 3) x + (- 3 y^{2} + y + 2) = (x - (y - 1)) (x - (- 3 y - 2)) = (x - y + 1) (x + 3 y + 2)

判别式法好在哪

不用试数。只要 $Δ$ 是完全平方式，两根一算，分解式就出来了。试十字相乘试不出来的时候，这条路最稳。

齐次式的捷径

$a x^{2} + b x y + c y^{2}$ 这种每一项都是二次的式子，可以先把 $y$ 提出去：

a x^{2} + b x y + c y^{2} = y^{2} [a (\frac{x}{y})^{2} + b (\frac{x}{y}) + c]

括号里就是关于 $\frac{x}{y}$ 的二次三项式，按老办法分解再换回来。

实际操作不用这么麻烦：直接把 $y$ 当 $1$ 试数就行。 $2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2}$ 当成 $2 x^{2} - 5 x + 2 = (2 x - 1) (x - 2)$ ，每个括号后面补上 $y$ ，得 $(2 x - y) (x - 2 y)$ 。

例题

例1 选主元

分解因式： $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2}$ 。

思路：以 $x$ 为主元，系数是 $1, 2 y, - 3 y^{2}$ 。

解：找两数积 $- 3 y^{2}$ 、和 $2 y$ ，是 $3 y$ 和 $- y$ 。 $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = (x + 3 y) (x - y)$

例2 带一次项和常数

分解因式： $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} + 3 x + y + 2$ 。

思路：这是上面那题的加强版，多了 $3 x + y + 2$ 。以 $x$ 为主元整理： $x^{2} + (2 y + 3) x + (- 3 y^{2} + y + 2)$ 。

解： $Δ = (4 y + 1)^{2}$ ，两根为 $x = y - 1$ 、 $x = - 3 y - 2$ ，所以 $原式 = (x - y + 1) (x + 3 y + 2)$

验算：展开常数项 $1 \times 2 = 2$ ✓， $x$ 项 $2 x + x = 3 x$ ✓， $y$ 项 $2 y - y = y$ ✓。

例3 齐次式

分解因式： $6 x^{2} - x y - 2 y^{2}$ 。

解：把 $y$ 当 $1$ ： $6 x^{2} - x - 2 = (3 x - 2) (2 x + 1)$ ，每个括号补 $y$ ： $6 x^{2} - x y - 2 y^{2} = (3 x - 2 y) (2 x + y)$

例4 主元选错会怎样

分解因式： $a^{2} b - a b^{2} + a - b$ 。

思路：以 $a$ 为主元： $b a^{2} + (1 - b^{2}) a - b$ 。系数带 $b$ ，判别式 $Δ = (1 - b^{2})^{2} + 4 b^{2} = (1 + b^{2})^{2}$ ，也能做，但绕。

换个视角：这个式子是 $a b (a - b) + (a - b)$ ，直接提公因式 $(a - b)$ 就行——主元法是工具，不是必须。能直接分组提公因式的，优先走那条路。

解：
$a^{2} b - a b^{2} + a - b = a b (a - b) + (a - b) = (a - b) (a b + 1)$

例5 判别式判定能否分解

判断 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + x + 4 y + 3$ 能否在整数范围内分解。

解：以 $x$ 为主元，系数为 $1$ 、 $3 y + 1$ 、 $2 y^{2} + 4 y + 3$ 。 $Δ = (3 y + 1)^{2} - 4 (2 y^{2} + 4 y + 3) = 9 y^{2} + 6 y + 1 - 8 y^{2} - 16 y - 12 = y^{2} - 10 y - 11 = (y - 11) (y + 1)$ $(y - 11) (y + 1)$ 不是完全平方式，所以这个式子在整数范围内不能分解成两个整系数一次式之积。

判别式的意义： $Δ$ 必须是某个整系数多项式的平方，才有希望。

三个坑

主元选完不整理：一定要按主元降幂重排，把同类项合并干净，否则系数看不出来。
判别式算完不检查： $Δ$ 必须是完全平方式，差一个系数都不行。
忘记验算：二元式展开项多，务必把 $x^{2}$ 、 $x y$ 、 $y^{2}$ 、 $x$ 、 $y$ 、常数六项都对一遍。

练习（先做，再看答案）

分解因式： $x^{2} - 5 x y + 6 y^{2}$ 。
分解因式： $2 x^{2} + 7 x y + 3 y^{2}$ 。
分解因式： $x^{2} - x y - 2 y^{2} + 2 x + y + 1$ 。
分解因式： $a^{2} - a b - 6 b^{2} + a + 7 b - 2$ 。
判断 $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x + y - 2$ 能否分解。

看答案

1. $(x - 2 y) (x - 3 y)$ 。

2. $(2 x + y) (x + 3 y)$ 。

3. 以 $x$ 为主元： $Δ = (y - 2)^{2} - 4 (- 2 y^{2} + y + 1) = 9 y^{2}$ ，两根为 $x = 2 y - 1$ 、 $x = - y - 1$ ，故 $(x - 2 y + 1) (x + y + 1)$ 。

4. 以 $a$ 为主元： $Δ = (1 - b)^{2} - 4 (- 6 b^{2} + 7 b - 2) = 25 b^{2} - 30 b + 9 = (5 b - 3)^{2}$ ，两根为 $a = 3 b - 2$ 、 $a = - 2 b + 1$ ，故 $(a - 3 b + 2) (a + 2 b - 1)$ 。

5. 以 $x$ 为主元： $Δ = (2 y + 1)^{2} - 4 (y^{2} + y - 2) = 9$ ，是完全平方，两根 $x = - y + 1$ 、 $x = - y - 2$ ，故 $(x + y - 1) (x + y + 2)$ ，能分解。

一页速记

多元式子先选主元，按它降幂重排
判别式 $Δ$ 是完全平方式 ⇔ 能分解
齐次式把 $y$ 当 1 试，最后每个括号补回 $y$
主元法不是唯一路，能提公因式、能分组就先走那些
分解完六项逐一验算

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