分组分解：先造出公共的括号

四项式 $ax+ay+bx+by$ 没有整体公因式：$a$ 只在前两项，$b$ 只在后两项。硬提是提不动的。

但可以两两分组：

每一组内部先提公因式，提完两组之间冒出了同一个括号 $(x+y)$，再把它当公因式提出来，式子就变成乘积了。

二二分组：四项切成两块，每块两项。适合 $ax+ay+bx+by$ 这种“前两项有共同字母、后两项有共同字母”的式子。

三一分组：三项凑成一个完全平方，剩下的一项凑平方差。适合 $a^2+2ab+b^2-c^2$ 这种。

还有一类要按系数分组。比如 $x^3+2x^2+3x+6$，前两项提出 $x^2$ 得 $x^2(x+2)$，后两项提出 $3$ 得 $3(x+2)$，括号对上了，于是等于 $(x^2+3)(x+2)$。

如果按 $x^3+3x$、$2x^2+6$ 分组，得到 $x(x^2+3)+2(x^2+3)=(x+2)(x^2+3)$，也能成。分组方式不唯一，只要每步合法、最后能拆成乘积就行。

分完发现两组括号不一样，先别急着否定，看看是不是能通过调符号救回来。

这里两组之间冒出的公共括号是 $(x-y)$，第二组本来就只有 $(x-y)$，相当于系数是 1。这种情况最容易被忽略——一个组提完什么都不剩，剩下的是 1，不是没有。

例1 二二分组

分解因式：$ax+ay+bx+by$。

解： $$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$$

也可以按 $x,y$ 分组：$x(a+b)+y(a+b)$，结果一样。两条路都通，选顺手的。

例2 三一分组

分解因式：$a^2+2ab+b^2-c^2$。

思路：前三项是 $(a+b{)}^2$，再减去 $c^2$，正好平方差。

解： $$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b{)}^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$$

识别信号：四项里有三个能凑完全平方、第四个是负的平方，就走这条路。

例3 先提再分

分解因式：$2x^3-2x^2-8x+8$。

思路：四项，先看整体公因式，系数都有 2，提出 2 之后再看。

解： $$2x^3-2x^2-8x+8=2(x^3-x^2-4x+4)=2[x^2(x-1)-4(x-1)]=2(x-1)(x^2-4)=2(x-1)(x+2)(x-2)$$

最后一步不能停：$x^2-4$ 还是平方差，必须拆到底。

例4 带负号的三项

分解因式：$1-a^2-2ab-b^2$。

思路：后三项都是负的，先提负号，让它们变成一个完全平方。

解： $$1-a^2-2ab-b^2=1-(a^2+2ab+b^2)=1-(a+b{)}^2=(1+a+b)(1-a-b)$$

这一步的眼力：看到 $-a^2-2ab-b^2$ 要立刻想到它是 $-(a+b{)}^2$，不是三个独立的项。

例5 需要试两次

分解因式：$x^3+x^2-x-1$。

思路：四项，试着二二分组。前两项提 $x^2$：$x^2(x+1)$；后两项提 $-1$：$-(x+1)$。

解： $$x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1{)}^2(x-1)$$

注意后两项：提的是 $-1$ 不是 $1$。如果提 $1$，得到 $1·(-x-1)=-(x+1)$，其实一样，但写成 $-1$ 更直观地看出括号一致。