初中数学竞赛 · 因式分解技巧

十字相乘：本质是拆两个数

二次三项式分解的主力工具。原理只有一句话：找两个数，加起来等于一次项系数，乘起来等于常数项。

八~九年级难度 ★★★14 分钟

它是乘法公式的逆运算

把 $(x + p) (x + q)$ 展开：

(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + p q

反过来，要分解 $x^{2} + b x + c$ ，就是去找两个数 $p, q$ ，让

p + q = b, p q = c

找到就写 $(x + p) (x + q)$ ，找不到（在整数范围内）就没法用十字相乘分解。

判断有没有整数解

看判别式 $Δ = b^{2} - 4 c$ 是不是完全平方数。是，就能在整数范围内分解；不是，就别浪费时间试了。

首项系数不是 1

$6 x^{2} - 7 x + 2$ 这种，要找四个数：把 $6$ 拆成 $2 \times 3$ ，把 $2$ 拆成 $(- 1) \times (- 2)$ ，让交叉相乘之和等于 $- 7$ 。

\begin{matrix} 2 & - 1 3 & - 2 \end{matrix} 2 \times (- 2) + 3 \times (- 1) = - 7

所以 $6 x^{2} - 7 x + 2 = (2 x - 1) (3 x - 2)$ 。

这就是“十字”这个名字的来源：交叉相乘。

试的时候有个顺序能省时间：常数项是正的，两个数同号；一次项是负的，两个数都是负的——符号先定死，只需要试绝对值。

双十字：两个字母的二次式

$2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} - x - 1$ 这类式子，先用十字相乘把二次部分拆开，再用一次十字配一次项。

第一步： $2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = (2 x - y) (x - 2 y)$ 。

第二步：设原式 $= (2 x - y + m) (x - 2 y + n)$ ，展开比对一次项和常数项，解出 $m, n$ 。这一步本质还是十字相乘，只是竖着再做一次。

例题

例1 最基础

分解因式： $x^{2} - 5 x + 6$ 。

解：找两数，积 $6$ 、和 $- 5$ ，是 $- 2$ 和 $- 3$ 。 $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

验算：展开得 $x^{2} - 3 x - 2 x + 6 = x^{2} - 5 x + 6$ ，对。

例2 首项系数不为 1

分解因式： $6 x^{2} - 7 x + 2$ 。

思路：常数项 $2 > 0$ ，一次项 $- 7 < 0$ ，两个数同为负。试 $(2 x - 1) (3 x - 2)$ ：交叉和 $2 \times (- 2) + 3 \times (- 1) = - 7$ ，中。

解： $6 x^{2} - 7 x + 2 = (2 x - 1) (3 x - 2)$ 。

别忘验算：展开的中间项是 $- 4 x - 3 x = - 7 x$ ，对得上。

例3 带两个字母

分解因式： $x^{2} + x y - 6 y^{2}$ 。

思路：把 $y$ 当常数看，就是 $x^{2} + y \cdot x - 6 y^{2}$ ，找两数积 $- 6 y^{2}$ 、和 $y$ 。

解： $- 2 y$ 与 $3 y$ 满足条件，所以 $x^{2} + x y - 6 y^{2} = (x - 2 y) (x + 3 y)$ 。

例4 先提再十字

分解因式： $- 2 x^{2} + 10 x - 12$ 。

思路：首项是负的，先提 $- 2$ 。

解： $- 2 x^{2} + 10 x - 12 = - 2 (x^{2} - 5 x + 6) = - 2 (x - 2) (x - 3)$

顺序：提公因式永远排在最前面。提完系数变小，十字相乘好试得多。

例5 需要先整理

分解因式： $(x^{2} - 3 x)^{2} - 2 (x^{2} - 3 x) - 8$ 。

思路：把 $x^{2} - 3 x$ 记作 $t$ ，式子变成 $t^{2} - 2 t - 8$ 。

解： $t^{2} - 2 t - 8 = (t - 4) (t + 2)$ ，代回： $(x^{2} - 3 x - 4) (x^{2} - 3 x + 2) = (x - 4) (x + 1) (x - 2) (x - 1)$

最后两个二次式还要各自十字相乘，一共拆成四个一次因式。换元之后别忘了换回来，也别忘了继续拆。

三个坑

符号试错太乱：先用“积的符号定同异号、和的符号定正负”缩小范围，比乱试快得多。
只试首项系数拆成 1 和本身： $6 x^{2}$ 要试 $2 \times 3$ ，不能只试 $1 \times 6$ 。
换元后忘了换回：写成 $(t - 4) (t + 2)$ 就交卷，等于没做。

练习（先做，再看答案）

分解因式： $x^{2} + 7 x + 12$ 。
分解因式： $3 x^{2} - 10 x + 8$ 。
分解因式： $2 x^{2} + 5 x y - 3 y^{2}$ 。
分解因式： $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ 。
分解因式： $2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} - x - 1$ 。

看答案

1. $(x + 3) (x + 4)$ 。

2. $(3 x - 4) (x - 2)$ ，交叉和 $3 \times (- 2) + 1 \times (- 4) = - 10$ 。

3. $(2 x - y) (x + 3 y)$ ，交叉和 $2 \times 3 y + 1 \times (- y) = 5 y$ 。

4. 设 $t = x^{2}$ ： $t^{2} - 5 t + 4 = (t - 1) (t - 4)$ ，故 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)$ 。

5. 二次部分 $(2 x - y) (x - 2 y)$ ，设为 $(2 x - y + m) (x - 2 y + n)$ 。展开比对： $x$ 项系数 $2 n + m = - 1$ ， $y$ 项系数 $- n - 2 m = 0$ ，解得 $m = 1, n = - 1$ 。故 $(2 x - y + 1) (x - 2 y - 1)$ 。

一页速记

$x^{2} + b x + c$ ：找两数和为 $b$ 、积为 $c$
首项不为 1：拆首项和常数项，交叉相乘凑一次项
符号先定：积正同号、积负异号；和的正负定具体符号
两个字母：把其中一个当常数
换元之后必须换回，并且继续拆到底
判别式不是完全平方数，整数范围内就别硬试

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