分解到哪停：有理数、实数与复数

$x^4-2$ 在不同数集里：

• 有理数范围：$x^4-2$ 不能再分。因为 $\sqrt{2}$ 不是有理数，两个二次因式 $x^2\pm \sqrt{2}$ 的系数都不在有理数里。
• 实数范围：

• 复数范围：还能继续，$x^2+\sqrt{2}=(x+i\sqrt[4]{2})(x-i\sqrt[4]{2})$，最终拆成四个一次因式。

初中竞赛默认在有理数范围或整数范围内分解。题目没说时，按有理数处理；如果答案里出现 $\sqrt{2}$ 这类数，说明题目默许了实数范围。

$a{x}^2+bx+c$ 在实数范围内不可分解 ⇔ $\Delta =b^2-4ac<0$。

所以实数范围内分解一个多项式，最终形态是“一堆一次因式 × 若干个判别式为负的二次因式”。

$x^4+1$ 就是典型：它没有实根，所以不能拆成一次因式，但可以拆成两个二次因式：

两个二次因式的判别式都是 $2-4=-2<0$，所以在实数范围内到这一步为止。

例1 有理数范围内不动

分解因式（有理数范围）：$x^2-3$。

解：在有理数范围内不能分解。因为若 $x^2-3=(x+a)(x+b)$，则 $a+b=0$、$ab=-3$，$a,b$ 是 $t^2-3=0$ 的根，即 $\pm \sqrt{3}$，不是有理数。

在实数范围内则是 $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$。答题时要看清题目默认的范围。

例2 系数带根号也算分解

分解因式（实数范围）：$x^4-4$。

解： $$x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)=(x^2+2)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$$

$x^2+2$ 判别式 $-8<0$，停。所以实数范围内是三个因式。

例3 拆成两个二次

分解因式（实数范围）：$x^4+1$。

思路：没有实根，所以不能有 $(x-a)$ 形式的因式。设成 $(x^2+px+1)(x^2-px+1)$，展开比对 $x^2$ 系数为 $0$，得 $2-p^2=0$，$p=\pm \sqrt{2}$。

解： $$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$$

注意：这道题在有理数范围内不能分解。同一个式子，两个范围两个答案。

例4 复数范围内拆到底

分解因式（复数范围）：$x^4+1$。

解：在例3的基础上继续。$x^2+\sqrt{2}x+1=0$ 的两根是 $\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2}i}{2}$，即 $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1\pm i)$。同理另一个二次因式的根是 $\frac{\sqrt{2}}{2}(1\pm i)$。

所以 $$x^4+1=(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i))(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i))(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i))$$

形式很丑，但结构清楚：四个一次因式，两两共轭。

例5 单位根

分解因式（复数范围）：$x^3-1$。

解：$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$。而 $x^2+x+1=0$ 的根是 $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 和 $\overline{\omega }=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$，所以 $$x^3-1=(x-1)(x-\omega )(x-\overline{\omega })$$

$\omega$ 叫三次单位根，满足 ${\omega }^3=1$ 且 $\omega \ne 1$，还有 ${\omega }^2+\omega +1=0$。这个数在竞赛里经常出现。