初中数学竞赛 · 因式分解技巧

提公因式

因式分解的第一个动作，也是竞赛题里最容易被跳掉的一步。这一节把“提什么、提多少、什么时候算提净”讲清楚。

七~九年级难度 ★★☆12 分钟

它为什么排在第一位

因式分解要做的事只有一件：把一个“和差”改写成“乘积”。

乘法分配律 $m (a + b - c) = m a + m b - m c$ 是从左往右算，提公因式就是把它反着用。听起来平淡，但反用之后，式子的次数结构变了：

6 a^{3} b^{2} - 9 a^{2} b^{3} + 3 a^{2} b^{2} = 3 a^{2} b^{2} (2 a - 3 b + 1)

左边每一项都是五次单项式，右边是一个二次单项式乘一个一次多项式。括号里的东西比原来简单得多，后面不管用公式法、分组法还是十字相乘，面对的都是一块更小的战场。

一句话

提公因式不是“一种分解方法”，而是所有分解动作的预处理。它不把式子分解完，只负责把问题缩小。

正因为这样，竞赛题里它经常不单独出现，而是藏在第一步：先提一下，式子才露出可以换元、可以套公式的形状。

提什么：三处一起看

公因式由三部分拼成，缺一不可。

位置	取什么	例子
系数	各项系数的最大公约数	$12, - 18, 6$ → 取 $6$
字母	每个字母取最低次数	$a^{3}, a^{2}, a^{2}$ → 取 $a^{2}$
整体	括号块整体出现时，把括号当一个字母	$(x + y)^{2}, (x + y)$ → 取 $(x + y)$

第三行是初中生最容易丢的一行。看下面这个式子：

2 a^{2} b (x + y)^{2} (b + c) - 6 a^{3} b^{3} (x + y) (b + c)^{2}

不要展开，展开就输了。把 $(x + y)$ 记作 $u$ 、 $(b + c)$ 记作 $v$ ，式子变成 $2 a^{2} b u^{2} v - 6 a^{3} b^{3} u v^{2}$ 。这时候一眼能看出公因式是 $2 a^{2} b u v$ ，即 $2 a^{2} b (x + y) (b + c)$ 。

心法

看见重复出现的括号块，就当字母看。 这是初中竞赛里最省事的一个习惯，一直用到高中。

提多少：一次提净

新手常常一步一步提：

12 a^{3} b^{2} - 18 a^{2} b^{3} = 6 a^{2} b^{2} \cdot 2 a - 6 a^{2} b^{2} \cdot 3 b = 6 a^{2} b^{2} (2 a - 3 b)

慢在中间那步可以直接跳过。判断“提净”的标准很简单：括号里再也找不到所有项共有的东西。

系数：括号里各项系数的最大公约数是 $1$
字母：没有任何字母在所有项里都出现
整体：没有哪个括号块在所有项里都出现

三条都满足，才算提净。任何一条不满足，说明还没提完。

首项带负号时，习惯把负号一起提出去，让括号里首项为正：

- 4 m^{3} n + 8 m^{2} n^{2} - 4 m n^{3} = - 4 m n (m^{2} - 2 m n + n^{2})

提出负号的那一刻，括号里每一项都要变号，这是出错率最高的一步。

例题

例1 三项式，注意那个 1

分解因式： $12 a^{3} b^{2} - 18 a^{2} b^{3} + 6 a^{2} b^{2}$ 。

思路：三项都含 $a$ 和 $b$ ，系数 $12, 18, 6$ 的最大公约数是 $6$ 。 $a$ 的最低次是 $2$ ， $b$ 的最低次也是 $2$ 。

解：原式 $= 6 a^{2} b^{2} (2 a - 3 b + 1)$ 。

回头验： $6 a^{2} b^{2} \cdot 1 = 6 a^{2} b^{2}$ ，正好是第三项。括号里那个 $1$ 不是装饰，它是第三项除以自己剩下的东西。漏掉它，展开就少一项。

例2 整体当字母

分解因式： $3 x (a - b)^{2} - 6 x^{2} (b - a)$ 。

思路： $(a - b)$ 和 $(b - a)$ 看着不一样，其实差一个负号： $b - a = - (a - b)$ 。先把它们统一，再当整体。

解： $3 x (a - b)^{2} - 6 x^{2} (b - a) = 3 x (a - b)^{2} + 6 x^{2} (a - b) = 3 x (a - b) [(a - b) + 2 x]$

括号里没有公因式了，停。结果是 $3 x (a - b) (a - b + 2 x)$ 。

为什么这一步值得停一下：如果直接把 $(a - b)$ 和 $(b - a)$ 当成两个不同的因式，公因式只能提出 $3 x$ ，剩下的 $(a - b)^{2} - 2 x (b - a)$ 会更难处理。统一符号花了三秒，省下后面十分钟。

例3 首项为负

分解因式： $- 4 m^{3} n + 8 m^{2} n^{2} - 4 m n^{3}$ 。

解：三项都含 $m n$ ，系数绝对值的最大公约数是 $4$ 。提出 $- 4 m n$ ： $- 4 m n (m^{2} - 2 m n + n^{2}) = - 4 m n (m - n)^{2}$

注意两件事：一是提负号时三项全部变号；二是括号里刚好是完全平方，分解到 $(m - n)^{2}$ 才算完。提公因式和公式法经常连着用，提完要扫一眼能不能继续。

例4 两个整体都出现

分解因式： $(x + y)^{2} (x - y) - (x + y) (x - y)^{2}$ 。

思路： $(x + y)$ 和 $(x - y)$ 在两块里都出现了，取它们各自的最低次，也就是各取一次。

解： $原式 = (x + y) (x - y) [(x + y) - (x - y)] = (x + y) (x - y) \cdot 2 y$

中括号里必须合并干净。很多人写到 $(x + y) - (x - y)$ 就收手，其实它等于 $2 y$ ，合并之后式子的结构才看得清。

例5 数论里的提公因式

求证： $3^{2026} - 3^{2024}$ 能被 $72$ 整除。

思路：两个幂相减，公共的幂是 $3^{2024}$ ，提出来就把“差”变成了“积”。而判断整除，要的正是乘积形式。

解： $3^{2026} - 3^{2024} = 3^{2024} (3^{2} - 1) = 3^{2024} \times 8 = 3^{2022} \times 9 \times 8 = 72 \times 3^{2022}$

所以能被 $72$ 整除。

这一步在竞赛里叫什么：提取公共的幂次，把指数上的差转化为系数上的因子。同余、整除、末位数字这三类题，起手动作基本都是它。

四个坑

漏 1：某项被完整提走后剩下的是 $1$ ，不是 $0$ ，也不能空着。
提负号只改第一项：提出 $- 1$ 或负数时，括号内每一项都要变号。
$(a - b)$ 与 $(b - a)$ 当成两个因式：先统一成同一个，再提。
提完不检查：提公因式只是第一步，括号里可能还能用公式、还能分组。分解到“每个因式都不能再分”才算结束。

练习（先做，再看答案）

分解因式： $15 x^{2} y - 25 x y^{2} + 5 x y$ 。
分解因式： $2 a (x - y)^{3} - 4 a^{2} (y - x)^{2}$ 。
分解因式： $- 3 x^{4} + 6 x^{3} - 3 x^{2}$ 。
分解因式： $(a + b) (a - b)^{2} - (a + b)^{2} (a - b)$ 。
求证： $5^{2025} - 5^{2023}$ 能被 $120$ 整除。

看答案

1. $5 x y (3 x - 5 y + 1)$ 。三项都含 $x y$ ，系数最大公约数 $5$ ，最后一项提完剩 $1$ 。

2. $2 a (x - y)^{2} [(x - y) - 2 a]$ 。先统一 $(y - x)^{2} = (x - y)^{2}$ ，再提 $2 a (x - y)^{2}$ 。

3. $- 3 x^{2} (x - 1)^{2}$ 。提 $- 3 x^{2}$ 后括号里是 $x^{2} - 2 x + 1$ ，正好完全平方。

4. $(a + b) (a - b) [(a - b) - (a + b)] = - 2 b (a + b) (a - b)$ 。中括号合并得 $- 2 b$ 。

5. $5^{2025} - 5^{2023} = 5^{2023} (25 - 1) = 24 \times 5^{2023} = 24 \times 5^{2} \times 5^{2021} = 600 \times 5^{2021} = 120 \times 5 \times 5^{2021}$ ，故能被 $120$ 整除。

一页速记

公因式 = 系数取 gcd + 字母取最低次 + 整体括号当字母
提净标准：括号内再无公共因子（系数 gcd 为 1、无公共字母、无公共括号块）
首项为负，连负号一起提，括号内全部变号
被完整提走的项留下 $1$
提完必须再看一眼：还能不能套公式、分组、继续分解

看完了？ 去因式分解技巧做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。