一次因式：用试根法拆高次式

多项式 $f(x)$ 除以 $(x-a)$，余数是多少？

不用真的做除法。令 $x=a$，$(x-a)$ 变成 $0$，剩下的部分就是余数：

这就是余数定理。它的直接推论是因式定理：

不能乱试。有理根定理给出范围：如果 $\frac{p}{q}$ 是整系数多项式 $a_n{x}^n+\cdots +a_0$ 的有理根（$p,q$ 互素），那么

首项系数是 $1$ 时，$q=1$，有理根只能是整数，而且必须是常数项的因数。这一下就把范围缩到几个数。

比如 $x^3-6x^2+11x-6$，首项系数 $1$，常数项 $-6$，可能的有理根只有 $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$。逐个代入，试到 $x=1$ 就中了。

试出 $x=1$ 后，要算 $f(x)÷(x-1)$ 的商。用综合除法最快，把系数排一行：

落下的 $1$ 抄下来，乘 $1$ 加到下一列，重复。最后一行是商式系数 $1,-5,6$，余数 $0$。

所以

例1 三次式试根

分解因式：$x^3-6x^2+11x-6$。

解：候选根 $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$。$f(1)=1-6+11-6=0$，中。

综合除法得商 $x^2-5x+6$，再十字相乘：$(x-2)(x-3)$。 $$原式=(x-1)(x-2)(x-3)$$

例2 首项系数不是 1

分解因式：$2x^3+x^2-8x-4$。

思路：$p\mid 4$，$q\mid 2$，候选根 $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm \frac{1}{2}$。

解：试 $x=2$：$16+4-16-4=0$，中。综合除法： $$\begin{array}{ccccccccccccc}\hfill 2\hfill & \hfill 2& \hfill 1& \hfill -8& \hfill -4& \hfill \hfill & \hfill 4& \hfill 10& \hfill 4& \hfill 2& \hfill 5\hfill & \hfill 2& \hfill 0\end{array}$$ 商为 $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$，故 $$原式=(x-2)(2x+1)(x+2)$$

分数根也要试：这题真正的根是 $2,-2,-\frac{1}{2}$，漏了 $-\frac{1}{2}$ 就拆不完整。

例3 分组更快时别硬试

分解因式：$x^3+x^2-x-1$。

解：分组两秒：

$$x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1{)}^2(x-1)$$

试根也能做（$f(1)=0$），但分组更快。因式定理是兜底工具，不是首选。

例4 求参数

已知 $x^3+m{x}^2-3x+2$ 有因式 $(x-1)$，求 $m$。

解：因式定理，$f(1)=0$： $$1+m-3+2=0⟹m=0$$

检验：$m=0$ 时 $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1{)}^2(x+2)$，确实含 $(x-1)$。

例5 判断有没有一次因式

证明 $x^4+x^2+1$ 在有理数范围内没有一次因式。

解：若有有理根 $\frac{p}{q}$，则 $p\mid 1$，$q\mid 1$，只能是 $\pm 1$。

$f(1)=3\ne 0$，$f(-1)=3\ne 0$，两个候选都不行，所以在有理数范围内无一次因式。

但它仍然能分解：$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$，是两个二次因式。没有一次因式，不等于不能分解——这是最容易混的一点。