初中数学竞赛 · 因式分解技巧

套公式：先认结构，再代数

乘法公式反过来就是分解公式。难的不是背公式，是看一眼就知道这个式子套哪一个。

七~九年级难度 ★★☆13 分钟

公式反过来用

乘法公式是从左往右：

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}, (a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

因式分解要的是从右往左。所以真正要记的不是等号左边长什么样，而是等号右边有什么特征。

公式	右边的长相	识别信号
平方差	$a^{2} - b^{2}$	两项、都是平方、中间减号
完全平方	$a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$	三项、首尾是平方、中间是两倍积
立方和	$a^{3} + b^{3}$	两项、都是立方、中间加号
立方差	$a^{3} - b^{3}$	两项、都是立方、中间减号

识别的顺序

先数项数。两项想平方差或立方和差，三项想完全平方或十字相乘，四项以上想分组。这一步花两秒，能省掉后面大量试错。

平方差：最容易漏的连续用

$x^{4} - 16$ 看着是两项，但 $x^{4}$ 是 $(x^{2})^{2}$ ， $16$ 是 $4^{2}$ ，所以先按平方差拆：

x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)

第一次拆完 $(x^{2} - 4)$ 还能再拆，很多人就停在这里。平方差经常要连着用两三次，判断依据还是同一个：拆完的每个因式，再数一遍项数、看是不是平方。

完全平方：中间项是两倍积

$4 a^{2} + 12 a b + 9 b^{2}$ 三项，首尾是 $(2 a)^{2}$ 和 $(3 b)^{2}$ ，中间 $12 a b = 2 \cdot 2 a \cdot 3 b$ ，正好是两倍积，所以等于 $(2 a + 3 b)^{2}$ 。

如果中间是 $- 12 a b$ ，就是 $(2 a - 3 b)^{2}$ 。判断正负只看中间项。

一个常见的变形：把某个整体当成一个字母。

(a + b)^{2} - 4 (a + b) + 4

把 $(a + b)$ 记作 $t$ ，式子变成 $t^{2} - 4 t + 4 = (t - 2)^{2}$ ，回到原式就是 $(a + b - 2)^{2}$ 。这种“整体代换”在竞赛里出现频率极高。

立方和差：符号只错一个

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

记法：前面跟后面反着来。前括号是加，后括号中间就是减；前括号是减，后括号中间就是加。第二个括号里的 $a b$ 永远不带系数 $2$ ，这也是最容易写错的地方。

例题

例1 连续平方差

分解因式： $x^{4} - 16$ 。

思路：两项，都是平方，减号，先平方差。

解： $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 。

$x^{2} + 4$ 在实数范围内不能再分（两个平方相加），到此为止。

例2 整体换元

分解因式： $(a + b)^{2} - 4 (a + b) + 4$ 。

思路：三项，首尾是 $(a + b)^{2}$ 和 $2^{2}$ ，中间 $4 (a + b) = 2 \cdot (a + b) \cdot 2$ ，符合完全平方。

解：设 $t = a + b$ ，则 $t^{2} - 4 t + 4 = (t - 2)^{2}$ ，所以原式 $= (a + b - 2)^{2}$ 。

为什么要换元：不换也能直接看出来，但换元把“一个括号的平方”变成了“一个字母的平方”，眼睛不容易花。式子复杂时，这个习惯能救命。

例3 立方和

分解因式： $8 x^{3} + 27$ 。

解： $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ ， $27 = 3^{3}$ ，所以 $8 x^{3} + 27 = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$

检查第二个括号： $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ ， $- 2 x \cdot 3 = - 6 x$ ， $3^{2} = 9$ ，符号是减，对。

例4 先提再套

分解因式： $2 a^{4} - 2 b^{4}$ 。

思路：两项是平方差，但系数有公因数 $2$ ，先提。

解：
$2 a^{4} - 2 b^{4} = 2 (a^{4} - b^{4}) = 2 (a^{2} + b^{2}) (a^{2} - b^{2}) = 2 (a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$
顺序很重要：先提公因式，再套公式，最后检查每个因式还能不能继续分。反过来做（先套公式再提）也能出结果，但容易漏项。

例5 三项里有平方差

分解因式： $a^{2} - b^{2} + 2 b - 1$ 。

思路：四项，直接套不了任何公式。但后三项 $- b^{2} + 2 b - 1 = - (b^{2} - 2 b + 1) = - (b - 1)^{2}$ ，可以凑成平方差。

解： $a^{2} - b^{2} + 2 b - 1 = a^{2} - (b^{2} - 2 b + 1) = a^{2} - (b - 1)^{2} = (a + b - 1) (a - b + 1)$

关键动作：看到 $- b^{2} + 2 b - 1$ 这种“带负号的三项”，先提负号凑成完全平方。分组分解的核心就是主动造出公式的形状。

四个坑

平方差只拆一层： $x^{4} - 16$ 拆成 $(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$ 就停，漏了后面还能拆。
完全平方中间项系数错： $(2 a + 3 b)^{2}$ 的中间项是 $12 a b$ ，不是 $6 a b$ ，别把 $2 a b$ 里的 2 丢了。
立方和差的第二个括号带系数 2：写成 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 就错了。
看到三项就套完全平方： $x^{2} + 5 x + 6$ 首尾是平方，中间却不是两倍积，它该用十字相乘。

练习（先做，再看答案）

分解因式： $9 x^{2} - 16 y^{2}$ 。
分解因式： $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ 。
分解因式： $27 a^{3} - 8 b^{3}$ 。
分解因式： $x^{2} + 4 x + 4 - y^{2}$ 。
分解因式： $a^{6} - b^{6}$ 。

看答案

1. $(3 x + 4 y) (3 x - 4 y)$ 。

2. $(x^{2} - 1)^{2} = (x + 1)^{2} (x - 1)^{2}$ 。先按完全平方，再对 $x^{2} - 1$ 用平方差，注意指数也要跟着平方。

3. $(3 a - 2 b) (9 a^{2} + 6 a b + 4 b^{2})$ 。

4. $(x + 2)^{2} - y^{2} = (x + 2 + y) (x + 2 - y)$ 。

5. 先用平方差： $(a^{3} + b^{3}) (a^{3} - b^{3})$ ，再分别用立方和、立方差： $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 。

一页速记

先数项数：两项→平方差/立方和差，三项→完全平方/十字相乘，四项以上→分组
平方差可以连着拆，拆完继续数项数
完全平方的中间项必须是 $2 a b$ ，符号跟中间项走
立方和差的第二个括号里是 $a b$ ，没有系数 2；前后括号符号相反
顺序：提公因式 → 套公式 → 分组 → 检查每个因式能否继续

看完了？ 去因式分解技巧做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。