初中数学竞赛 · 因式分解技巧

综合运用：分解到底的完整流程

前面几招拆开都会用，合起来就乱。这一节把它们排成一条固定流程，再拿几道多层嵌套的题走一遍。

八~九年级难度 ★★★★16 分钟

一条固定的流程

拿到一个式子，按顺序走，不要跳：

提公因式——包括负号。这一步永远第一。
数项数——两项、三项、四项以上，决定下一步方向。
套公式或十字相乘——按项数选工具。
分组——前面都不通时拆成块。
拆项添项——最后手段。

每走完一步，回到第 1 步重新看。因为分解出来的每个因子，本身还要再走一遍这个流程。

什么叫分解到底

在指定的数集里，每个因式都不能再分解为止。实数范围内，二次因式如果判别式小于零就停；有理数范围内，只要还有有理系数因式就继续拆。

多层嵌套怎么处理

出现了“式子的式子”，先换元：

(x^{2} + x)^{2} - 14 (x^{2} + x) + 24

设 $t = x^{2} + x$ ，得 $t^{2} - 14 t + 24 = (t - 2) (t - 12)$ 。换回来：

(x^{2} + x - 2) (x^{2} + x - 12) = (x + 2) (x - 1) (x + 4) (x - 3)

换元只负责“看清结构”，换回来之后该拆的还要拆。

例题

例1 四步走完

分解因式： $3 x^{3} - 3 x$ 。

解：提 $3 x$ 得 $3 x (x^{2} - 1)$ ，平方差得 $3 x (x + 1) (x - 1)$ 。

三步，每步都要回看： $3 x$ 是一次， $(x + 1)$ 、 $(x - 1)$ 都是一次，拆完了。

例2 先换元再逐层拆

分解因式： $(x^{2} + x)^{2} - 14 (x^{2} + x) + 24$ 。

解：设 $t = x^{2} + x$ ， $t^{2} - 14 t + 24 = (t - 2) (t - 12)$ 。 $(x^{2} + x - 2) (x^{2} + x - 12) = (x + 2) (x - 1) (x + 4) (x - 3)$

例3 分组之后还要套公式

分解因式： $x^{2} - y^{2} + 2 y z - z^{2}$ 。

解：后三项提出负号：
$x^{2} - (y^{2} - 2 y z + z^{2}) = x^{2} - (y - z)^{2} = (x + y - z) (x - y + z)$
这道题的关键是看出“三项能凑完全平方”，而不是硬套二二分组。

例4 含参数

分解因式： $x^{2} - 2 a x + a^{2} - b^{2}$ 。

解：前三项是完全平方： $(x - a)^{2} - b^{2} = (x - a + b) (x - a - b)$ 。

参数不参与运算，照常当常数看。

例5 竞赛题：先观察再动手

分解因式： $x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ 。

思路：系数是 $1, 2, 3, 2, 1$ ，左右对称。这种“回文式”有固定套路：除以 $x^{2}$ 后换元 $t = x + \frac{1}{x}$ 。

解： $x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1 = x^{2} [(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + \frac{1}{x}) + 3]$ 令 $t = x + \frac{1}{x}$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$ ，括号里变成 $t^{2} - 2 + 2 t + 3 = t^{2} + 2 t + 1 = (t + 1)^{2}$ 。所以 $原式 = x^{2} (x + \frac{1}{x} + 1)^{2} = (x^{2} + x + 1)^{2}$

这类题的特征：系数对称、次数是偶数。看到这个形状，先除以中间次数的 $x$ ，是通用做法。

三个坑

跳步：不先提公因式就套公式，结果多绕一大圈，还容易漏因子。
换元不换回：答案里留着 $t$ 是不给分的。
拆到一半停手：每个因式都要重新走一遍流程，直到都不能再拆。

练习（先做，再看答案）

分解因式： $2 x^{2} - 8$ 。
分解因式： $(x^{2} - 2 x)^{2} - 11 (x^{2} - 2 x) + 24$ 。
分解因式： $a^{2} - 2 a b + b^{2} - c^{2}$ 。
分解因式： $x^{4} + x^{2} + 1$ 。
分解因式： $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + 3 x - 2$ 。

看答案

1. $2 (x^{2} - 4) = 2 (x + 2) (x - 2)$ 。

2. 设 $t = x^{2} - 2 x$ ： $(t - 3) (t - 8)$ ，即

(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 8) = (x - 3) (x + 1) (x - 4) (x + 2)

3. $(a - b)^{2} - c^{2} = (a - b + c) (a - b - c)$ 。

4. 补 $x^{2}$ ： $(x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 。

5. 试根 $x = 1$ ： $1 - 3 + 1 + 3 - 2 = 0$ ，故 $(x - 1)$ 是因式。除以 $(x - 1)$ 得 $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ ，再分组： $x^{2} (x - 2) - (x - 2) = (x - 2) (x^{2} - 1)$ 。最终 $(x - 1) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = (x - 1)^{2} (x - 2) (x + 1)$ 。

一页速记

流程：提公因式 → 数项数 → 套公式/十字 → 分组 → 拆添项 → 回看
每一步做完都要回到第一步重新检查每个因式
嵌套结构先换元，换完必须换回并继续拆
回文系数（左右对称）想到除以中间次数的 $x$ ，换元 $t = x + \frac{1}{x}$
分解“到底”的标准由数集决定：实数范围内二次不可约就停

看完了？ 去因式分解技巧做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。