初中数学竞赛 · 一次函数与二次函数

二次函数的三种表达式

一般式、顶点式、交点式，说的是同一条抛物线。条件给了什么，就选哪种式子设，三秒定思路。

九年级难度 ★★☆12 分钟

三种式子，各管一段

同一条抛物线有三种写法：

一般式 $y = a x^{2} + b x + c$ ：给三个点的坐标时用它，代入解三元方程组；
顶点式 $y = a (x - h)^{2} + k$ ：顶点 $(h, k)$ 一眼可见，给顶点或对称轴、最值时用它；
交点式 $y = a (x - x_{1}) (x - x 2)$ ：两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 直接进式子，给与 $x$ 轴交点时用它。

三个 $a$ 是同一个 $a$ ——开口方向与大小是抛物线的“身份”，换写法不换身份。互相转化的桥：一般式配方到顶点式（因式册配方法的原班人马），顶点式展开回一般式，一般式分解或求根到交点式。

对称轴与顶点：两条公式

一般式下，对称轴与顶点纵坐标：

x = - \frac{b}{2 a}, y = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

它们不必背得那么辛苦： $x = - \frac{b}{2 a}$ 就是“两根的平均数”（有根时），顶点纵坐标就是配方后的尾巴。对称轴是抛物线一切对称性质的轴： $x_{1} + x_{2} = 2 h$ ，图象上关于轴对称的两点纵坐标相等——这条性质在竞赛里比公式更常用。

设式子的三秒判断

拿到条件先分类：给顶点/最值/对称轴 → 设顶点式，一个未知数 $a$ ；给两个与 $x$ 轴的交点 → 设交点式，一个未知数 $a$ ；给三个杂点 → 设一般式，三个未知数。未知数越少越好解，这是设元的第一原则。

例题

例1 顶点式快速上手

抛物线顶点为 $(1, - 2)$ ，且过点 $(3, 6)$ ，求解析式。

解：设 $y = a (x - 1)^{2} - 2$ ，代入 $(3, 6)$ ： $6 = 4 a - 2, a = 2$ 所以 $y = 2 (x - 1)^{2} - 2$ ，展开为 $y = 2 x^{2} - 4 x$ 。

一个未知数一步出，这就是顶点式的价值。

例2 交点式与对称性质

抛物线与 $x$ 轴交于 $(- 1, 0)$ 、 $(3, 0)$ ，且过点 $(1, 4)$ ，求解析式并写出对称轴。

解：设 $y = a (x + 1) (x - 3)$ ，代入 $(1, 4)$ ： $4 = a \cdot 2 \cdot (- 2) = - 4 a, a = - 1$ 所以 $y = - (x + 1) (x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3$ 。

对称轴不必展开再算：两交点的平均数， $x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ 。

例3 用对称性补坐标

抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 2$ ，过点 $(0, 3)$ 与 $(3, 6)$ ，求解析式。

解：对称轴 $x = 2$ 说明图象上存在与 $(0, 3)$ 对称的点 $(4, 3)$ 。于是有三个点： $(0, 3)$ 、 $(4, 3)$ 、 $(3, 6)$ 。

由 $(0, 3)$ 得 $c = 3$ ；把另外两点代入一般式： $16 a + 4 b + 3 = 3 \Rightarrow 4 a + b = 0$ $9 a + 3 b + 3 = 6 \Rightarrow 3 a + b = 1$ 相减得 $a = - 1$ ， $b = 4$ 。解析式为 $y = - x^{2} + 4 x + 3$ 。

这道题的路数值得记住：对称轴 + 一个点，等于白送另一个点，凑满三点就能走一般式。

三个坑

顶点式符号写错： $y = a (x - h)^{2} + k$ 中顶点是 $(h, k)$ ， $y = 2 (x + 1)^{2} - 3$ 的顶点是 $(- 1, - 3)$ ，括号里的符号要反着读。
交点式忘了前提：设 $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ 要求抛物线与 $x$ 轴确有两个交点（ $Δ > 0$ ）；相切或无交点时只能用前两种。
对称轴当顶点： $x = - \frac{b}{2 a}$ 是对称轴（一条线），顶点还要带上纵坐标 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ，答题别只写一半。

练习（先做，再看答案）

抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 的顶点坐标是什么？
抛物线过 $(- 2, 0)$ 、 $(5, 0)$ 、 $(0, - 10)$ ，求解析式。
抛物线对称轴为 $x = 1$ ，过点 $(3, 5)$ 与 $(0, 2)$ ，求解析式。

看答案

1. 配方 $y = (x - 2)^{2} + 1$ ，顶点 $(2, 1)$ 。

2. 设 $y = a (x + 2) (x - 5)$ ，代入 $(0, - 10)$ ： $- 10 = a \cdot 2 \cdot (- 5)$ ， $a = 1$ ，即 $y = x^{2} - 3 x - 10$ 。

3. 设 $y = a (x - 1)^{2} + k$ 。代入 $(3, 5)$ ： $4 a + k = 5$ ；代入 $(0, 2)$ ： $a + k = 2$ 。两式相减得 $3 a = 3$ ， $a = 1$ ， $k = 1$ 。解析式为 $y = (x - 1)^{2} + 1$ 。

一页速记

顶点/最值条件 → 顶点式；两个 $x$ 轴交点 → 交点式；杂三点 → 一般式
对称轴 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，也是两根的平均数
对称轴 + 一个点，白送一个对称点
三种式子同一个 $a$ ：开口是抛物线的身份

看完了？ 去一次函数与二次函数做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。