函数与不等式

两条图象 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$：

• $f(x)>g(x)$ 的解集 $\iff$ $f$ 的图象在 $g$ 上方的那段 $x$ 范围；
• 交点横坐标是解集的分界点。

特别地，$f(x)>0$ 看 $f$ 的图象在 $x$ 轴上方的部分。抛物线开口向上时，“上方的部分”是两头、“下方的部分”是中间——先找根，再按开口方向报区间，比符号法则好记得多。

$kx+b>0$：图象在 $x$ 轴上方那段。$k>0$ 时解集是 $(-{\displaystyle \frac{b}{k}},+\infty )$，$k<0$ 时反过来。一切一次不等式只有这一个分界点，画一条斜线答案就出来。

$a{x}^2+bx+c>0$（$a>0$）：先解 $a{x}^2+bx+c=0$。

• 两个不同实根 $x_1<x_2$：解集是 $x<x_1$ 或 $x>x_2$（“大于取两头”）；
• 重根：解集是 $x\ne x_1$；
• 无实根：抛物线整条在 $x$ 轴上方，解集是全体实数。

$a<0$ 时两边同乘 $-1$ 化回 $a>0$，别硬记反方向。

例1 二次不等式的图象解法

解不等式 $x^2-5x+6>0$。

解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，两根 $2$、$3$。开口向上，“大于取两头”： $$x<2\text{或}x>3$$

图象复核：$x=0$ 时左式为 $6>0$，落在解集内；$x=2.5$ 时 $-0.25<0$，不在解集内。两头一验，方向无误。

例2 双函数比较

求使 $2x+3$ 大于 $x^2-2x$ 的 $x$ 的取值范围。

解：$2x+3>x^2-2x$ 移项即 $x^2-4x-3<0$。解方程 $x^2-4x-3=0$： $$x=2\pm \sqrt{7}$$ 开口向上，“小于取中间”： $$2-\sqrt{7}<x<2+\sqrt{7}$$

例3 含参数的看图讨论

对任意实数 $x$，都有 $x^2-2mx+m+1\ge 0$，求 $m$ 的范围。

解：恒成立即抛物线整条不在 $x$ 轴下方，判别式非正： $$\Delta =4m^2-4(m+1)\le 0\Rightarrow m^2-m-1\le 0$$ 解这个关于 $m$ 的二次不等式：两根 ${\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$，取中间： $$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

图象理解：开口向上，要整条压在 $x$ 轴上方，最多碰一下（$\Delta =0$），这是“恒成立”类问题的标准形态。