初中数学竞赛 · 一次函数与二次函数

函数与方程：交点就是根

方程的根是图象的交点横坐标。把方程搬到图上看，交点个数、根的范围、参数的边界全都变成看得见的几何问题。

九年级难度 ★★☆12 分钟

翻译规则：三句话

$f (x) = 0$ 的实根 $\Leftrightarrow$ 图象 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标；
$f (x) = g (x)$ 的实根 $\Leftrightarrow$ 两条图象交点的横坐标；
根的范围、个数问题 $\Leftrightarrow$ 交点在哪里、有几个。

代数上看不清的时候（含参数、带根号、不好解），搬到图上常常一眼见底。这就是“数形结合”最实在的用法：不是装饰，是把问题换到看得见的坐标系里。

交点个数：判别式与图象两把尺

直线与抛物线联立，消 $y$ 得一元二次方程，判别式 $Δ$ 定个数： $Δ > 0$ 两个交点， $Δ = 0$ 相切， $Δ < 0$ 无交点。这是代数尺。

图象尺：抛物线开口向上、直线从“上方远处”压下来，切与不切之间的临界位置就是 $Δ = 0$ 。两把尺互相验证，尤其含参数时，先画临界图再解 $Δ = 0$ 求边界，最不容易漏。

根的分布：看两端和顶点

抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ ）在区间 $(m, n)$ 内恰有一个根，条件是图象在 $m$ 、 $n$ 两处一正一负（ $f (m) \cdot f (n) < 0$ ），或者根恰在端点上。两个根都在区间内，则再加对称轴落在区间内、端点函数值为正。“端点值异号”是抓根最快的一条，不需要真的解方程。

例题

例1 直线与抛物线的交点个数

$a$ 取何值时，直线 $y = 2 x + a$ 与抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 恰有一个公共点？

解：联立消 $y$ ： $x^{2} - 2 x + 2 = 2 x + a \Rightarrow x^{2} - 4 x + 2 - a = 0$ 恰有一个公共点即 $Δ = 0$ ： $16 - 4 (2 - a) = 0 \Rightarrow a = - 2$

此时方程为 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ， $x = 2$ ，切点 $(2, 2)$ 。图象核一遍：直线 $y = 2 x - 2$ 在 $(2, 2)$ 处与抛物线相切，与“开口向上的抛物线从下方切到”一致。

例2 用图象解带根号的方程

方程 $\sqrt{x} = x - 2$ 的实根个数是多少？

解：两边平方容易引进增根，搬到图上最干净：看 $y = \sqrt{x}$ （半支抛物线）与 $y = x - 2$ （直线）的交点。

直线与 $x$ 轴交于 $(2, 0)$ ，在 $y$ 轴上截距 $- 2$ ； $y = \sqrt{x}$ 从原点出发向右上。直线在 $x = 2$ 处高度为 $0$ 、在 $x = 4$ 处高度为 $2$ ，而 $\sqrt{4} = 2$ ，两图象在 $(4, 2)$ 相交。再看走势： $x > 4$ 时直线每次走 $1$ 步、根号曲线越来越平，不会再交第二次； $0 \leq x < 4$ 时直线高度小于根号曲线高度（如 $x = 1$ 处 $- 1$ 对 $1$ ）。

所以恰有 1 个实根 $x = 4$ 。平方验算： $4 - 2 = 2 = \sqrt{4}$ ，成立。

例3 端点定号抓根

方程 $x^{2} - x - m = 0$ 在区间 $(0, 2)$ 内恰有一个实根，求 $m$ 的取值范围。

解：记 $f (x) = x^{2} - x - m$ ，开口向上。区间内恰一根，标准形态是两端一正一负： $f (0) \cdot f (2) < 0$ $f (0) = - m$ ， $f (2) = 2 - m$ ，乘积 $m^{2} - 2 m < 0$ ，得 $0 < m < 2$ 。

还要补“根恰在端点”的边界： $f (0) = 0$ 即 $m = 0$ ，根为 $0$ 和 $1$ ， $0$ 不在开区间内， $1$ 在——此时区间内恰一根， $m = 0$ 应收进来； $f (2) = 0$ 即 $m = 2$ ，根为 $- 1$ 和 $2$ ，区间 $(0, 2)$ 内没有根，排除。

最终 $0 \leq m < 2$ 。端点单独验证这一步不能省，端点函数值为 $0$ 时“异号”条件失效，必须回代数根。

三个坑

平方后忘验根：例2 若直接平方得 $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ ，根 $1$ 和 $4$ ，其中 $x = 1$ 代回原式 $\sqrt{1} \neq - 1$ 是增根。图象法天生没这个问题。
$Δ = 0$ 就报切点坐标：切点还要回代联立方程求出横坐标，只答 $a$ 不答点，题就做了一半。
端点为 0 的边界漏查：区间开闭、 $f (m) = 0$ 的情形要单独回代，只写 $f (m) f (n) < 0$ 会丢解或多解。

练习（先做，再看答案）

直线 $y = x + m$ 与抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A B$ 的横坐标之差为 $2$ ，求 $m$ 。
判断方程 $2^{x} + x = 0$ 的实根个数。
方程 $x^{2} - 2 x - a = 0$ 在区间 $(0, 3)$ 内恰有一个实根，求 $a$ 的范围。

看答案

1. 联立得 $x^{2} - 3 x - m = 0$ ，两根之差 $= \frac{\sqrt{Δ}}{| a |} = \sqrt{9 + 4 m} = 2$ ，得 $9 + 4 m = 4$ ， $m = - \frac{5}{4}$ 。

2. 看 $y = 2^{x}$ 与 $y = - x$ ：前者单调增、恒正，后者单调减、恒负。取两个观测点： $x = - 1$ 时 $2^{x} = 0.5$ 小于 $- x = 1$ ，即指数曲线在下方； $x = 0$ 时 $1$ 大于 $0$ ，指数曲线在上方。中间必有一次相交；又因一个增一个减，至多交一次。所以恰有 1 个实根。

3. $f (x) = x^{2} - 2 x - a$ 。 $f (0) = - a$ ， $f (3) = 3 - a$ ，异号： $(- a) (3 - a) < 0$ 得 $a < 0$ 或 $a > 3$ ；端点： $f (0) = 0$ 即 $a = 0$ ，根为 $0, 2$ ，区间内恰一根（ $2$ ），收进； $f (3) = 0$ 即 $a = 3$ ，根为 $- 1, 3$ ，区间内无根，排除。最终 $a \leq 0$ 或 $a > 3$ 。

一页速记

根就是交点横坐标，含参、带根号先画图
交点个数两把尺：判别式与临界图，互相验证
区间抓根首选端点异号，端点为 0 单独回代
交点联立消元后，两根之差 $= \frac{\sqrt{Δ}}{| a |}$

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