一次函数的图象与性质

一次函数 $y=kx+b$（$k\ne 0$）：

• $k$ 是斜率，管方向和陡缓：$k>0$ 从左下往右上，$k$ 越大越陡；
• $b$ 是纵截距，管起点：图象与 $y$ 轴交在 $(0,b)$。

增减性一句话：$k>0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而增大，$k<0$ 时减小。比较两个函数值的大小、判断谁在上谁在下，先比 $k$ 再看交点。

按 $k$、$b$ 的符号组合记忆：

• $k>0$、$b>0$：过一、二、三象限；
• $k>0$、$b<0$：过一、三、四象限；
• $k<0$、$b>0$：过一、二、四象限；
• $k<0$、$b<0$：过二、三、四象限。

规律：不过的象限由 $b$ 的符号决定（$b>0$ 必过二、$b<0$ 必过四，再按 $k$ 补一或三）。竞赛里常见的逆向题：图象不过第三象限，推出 $k<0$ 且 $b>0$ 这类组合，再往下走。

求解析式只需两个点：代入两点解关于 $k$、$b$ 的二元一次方程组。与坐标轴围成的三角形：横截距 ${\displaystyle \frac{-b}{k}}$、纵截距 $b$，面积

平移规律：上下平移改 $b$（上加下减），左右平移改自变量（左加右减），斜率 $k$ 不动。

例1 求解析式

一次函数图象过点 $(2,3)$ 与 $(-1,-3)$，求解析式。

解：设 $y=kx+b$，代入： $$2k+b=3,-k+b=-3$$ 两式相减得 $3k=6$，$k=2$，回代得 $b=-1$。

所以 $y=2x-1$。验算：$2\times 2-1=3$，$-2-1=-3$，两点都对上。

例2 由图象信息定符号

一次函数 $y=(m-2)x+3-m$ 的图象不过第三象限，求 $m$ 的取值范围。

解：$k>0$ 时图象过一、三两个象限，必含第三象限，排除。所以必须 $k<0$。

$k<0$ 且 $b>0$ 时过一、二、四；$k<0$ 且 $b=0$ 时过原点，占二、四。两种都不含第三象限。

所以 $k=m-2<0$ 且 $b=3-m\ge 0$，即 $m<2$ 且 $m\le 3$，取交集得 $m<2$。

例3 围成的面积

直线 $y=2x-4$ 与两坐标轴交于 $A$、$B$，与双曲线 $y={\displaystyle \frac{2}{x}}$ 交于 $P$（第一象限）。求 $△ABO$ 的面积。

解：横截距：令 $y=0$，$x=2$，$A(2,0)$；纵截距 $B(0,-4)$。 $$S_{△ABO}=\frac{1}{2}\times 2\times 4=4$$

交点 $P$ 是顺手的副产品：$2x-4={\displaystyle \frac{2}{x}}$ 化为 $x^2-2x-1=0$，$x=1+\sqrt{2}$（取正根），竞赛里常接着问 $△PBO$ 之类，方法同上：求坐标、取底和高。