函数中的整数根与整点问题

• 整点：坐标都是整数的点。问图象上有多少整点、是否存在整点，通常固定一个变量去数另一个；
• 整数根：方程的根为整数，且常限定参数也是整数。这是数论与函数的交叉路口。

直线 $y=kx+b$（$k$、$b$ 为整数）上必有整点；反之，过两个整点的直线，斜率必为有理数。抛物线的整点问题则多走代数：把 $y$ 用 $x$ 表达，令 $x$ 取整数看 $y$ 是否整数。

问“参数 $m$ 为何整数时方程有整数根”，把 $m$ 移到一边：

然后令 $x$ 取整数、要求右边也是整数——这就变成整除问题：分母整除分子。枚举 $x$ 的有限候选（通常是分母的约数），比解不等式圈范围再逐个试快得多。

参数为整数、根为整数时，两根之和与积都是整数，配合判别式 $\Delta$ 为完全平方数，能先把 $m$ 的候选压到很少，再逐一验证。数论册的整除、完全平方数知识在这里直接复用。

例1 抛物线上的整点

抛物线 $y=x^2-4x+5$ 上，横坐标 $x$ 满足 $0\le x\le 5$ 的整点有几个？

解：配方 $y=(x-2{)}^2+1$。$x$ 取 $0,1,2,3,4,5$：

$x=0$ 时 $y=5$；$x=1$ 时 $y=2$；$x=2$ 时 $y=1$；$x=3$ 时 $y=2$；$x=4$ 时 $y=5$；$x=5$ 时 $y=10$。全部是整数。

共 6 个整点。$x$ 是整数、系数是整数时 $y$ 自动是整数——整点问题的入口常常就这么简单，难的是反过来定参数。

例2 分离参数求整数根

$m$ 为整数，方程 $x^2+mx+2m=0$ 有整数根，求 $m$ 的所有值。

解：分离参数：$m(2+x)=-x^2$，即 $$m=-\frac{x^2}{x+2}$$ 要求 $x+2$ 整除 $x^2$。把分子往分母上凑：$x^2=(x+2)(x-2)+4$，所以 $x+2$ 必须整除 $4$。

$x+2\in \pm 1,\pm 2,\pm 4$，逐一算：

• $x+2=1$（$x=-1$）：$m=-1$；
• $x+2=-1$（$x=-3$）：$m=9$；
• $x+2=2$（$x=0$）：$m=0$；
• $x+2=-2$（$x=-4$）：$m=8$；
• $x+2=4$（$x=2$）：$m=-1$；
• $x+2=-4$（$x=-6$）：$m=9$。

$m$ 的所有值为 $-1,0,8,9$。验算一个：$m=8$ 时方程 $x^2+8x+16=0$，根 $x=-4$，整数，成立。

例3 直线上的整点计数

直线 $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$ 上，$x$ 从 $0$ 到 $30$ 的整数中，使 $y$ 也是整数的 $x$ 有几个？

解：$y$ 为整数要求 ${\displaystyle \frac{2x}{3}}$ 为整数，即 $3\mid 2x$；$3$ 与 $2$ 互素，所以 $3\mid x$。

$0$ 到 $30$ 中 $3$ 的倍数有 $11$ 个（$0,3,\dots ,30$）。答案 11 个。

一般规律：斜率为既约分数 ${\displaystyle \frac{q}{p}}$ 的直线上，横坐标每隔 $p$ 出现一个整点——整点在直线上等距分布。