函数的最值与区间最值

$y=a{x}^2+bx+c$ 在全体实数上：$a>0$ 时最小值为顶点纵坐标 ${\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}$（在 $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ 处取得），$a<0$ 时为最大值。配方写成 $a(x-h{)}^2+k$，尾巴 $k$ 直接就是答案。

在区间 $[m,n]$ 上求最值，第一件事是画对称轴和区间的相对位置：

• 轴在区间内（$m\le -{\displaystyle \frac{b}{2a}}\le n$，$a>0$）：最小值在顶点，最大值在离轴较远的端点；
• 轴在区间左侧：$a>0$ 时函数在区间上递增，最小 $f(m)$、最大 $f(n)$；
• 轴在区间右侧：递减，最小 $f(n)$、最大 $f(m)$。

含参数时按这三种位置分类，每类写一行结论，讨论不重不漏。

• 对称性：区间端点到轴等距时两端函数值相等；比较端点值只看“谁离轴远”。
• 分离常数：形如 $y={\displaystyle \frac{k}{x^2+1}}$ 这类，分母的范围定好后倒数关系直接出最值，不必硬求导式的分析。

例1 基本区间最值

求 $y=x^2-4x+5$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值与最小值。

解：配方 $y=(x-2{)}^2+1$，对称轴 $x=2$ 在区间内。

最小值在顶点：$y_{min}=1$（$x=2$）。最大值在离轴较远的端点：$0$ 到 $2$ 距离 $2$，$3$ 到 $2$ 距离 $1$，取 $x=0$，$y_{max}=5$。

例2 动轴定区间

求 $y=x^2-2ax+3$（$a$ 为参数）在区间 $[0,2]$ 上的最小值。

解：配方 $y=(x-a{)}^2+3-a^2$，轴 $x=a$ 是动的，按位置分三类：

• $a<0$：轴在区间左侧，区间上递增，最小值 $f(0)=3$；
• $0\le a\le 2$：轴在区间内，最小值 $f(a)=3-a^2$；
• $a>2$：轴在区间右侧，递减，最小值 $f(2)=7-4a$。

三段拼起来就是答案。检验衔接点：$a=0$ 时 $3-0=3$ 与第一段一致；$a=2$ 时 $3-4=-1$ 与 $7-8=-1$ 一致，接口无缝。

例3 定轴动区间

求 $y=x^2-2x+3$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最小值（$t$ 为参数）。

解：轴固定在 $x=1$，动的是区间，同样三分：

• $t+1<1$（即 $t<0$）：区间整体在轴左侧，递减，最小值 $f(t+1)=(t+1{)}^2-2(t+1)+3=t^2+2$；
• $t\le 1\le t+1$（即 $0\le t\le 1$）：轴在区间内，最小值 $f(1)=2$；
• $t>1$：区间整体在轴右侧，递增，最小值 $f(t)=t^2-2t+3$。

动轴定区间、定轴动区间，本质是同一张三种位置图，谁动都一样讨论。