初中数学竞赛 · 三角形与四边形

比例线段定理：梅涅劳斯与塞瓦

一条直线截三角形三边，三个比值乘起来等于 1（梅涅劳斯）；三条线共点，同样的乘积也等于 1（塞瓦）。共线与共点，一张表全管。

九年级难度 ★★★14 分钟

两个定理，一句话区分

$△ A B C$ 中， $D$ 在 $B C$ 上、 $E$ 在 $C A$ 上、 $F$ 在 $A B$ 上（可在延长线上），记四个比值：

\frac{B D}{D C}, \frac{C E}{E A}, \frac{A F}{F B}

梅涅劳斯（共线）： $D$ 、 $E$ 、 $F$ 三点在一条直线上 $\Rightarrow$ 三个比值之积为 $1$ （带符号时是 $- 1$ ，初中阶段用长度比记 $+ 1$ ，注意延长线上的比取长度即可）。
塞瓦（共点）： $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 三条线交于一点 $\Rightarrow$ 三个比值之积为 $1$ ；反过来乘积为 $1$ （且三点各不落在顶点上）就能断定三线共点。

一个管“点共线”，一个管“线共点”，公式长得一样。用的时候先问自己：已知的是一条直线，还是三条线？

面积法证塞瓦

设 $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于 $P$ 。对 $△ A B D$ 与 $△ A D C$ 反复用“同高看底”：

\frac{B D}{D C} = \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A D C}} = \frac{S_{△ P B D}}{S_{△ P D C}}

由等比定理，两条比同时等于“分子差比分母差”：

\frac{B D}{D C} = \frac{S_{△ A B D} - S_{△ P B D}}{S_{△ A D C} - S_{△ P D C}} = \frac{S_{△ A B P}}{S_{△ A C P}}

同理 $\frac{C E}{E A} = \frac{S_{△ B C P}}{S_{△ A B P}}$ ， $\frac{A F}{F B} = \frac{S_{△ A C P}}{S_{△ B C P}}$ 。三式相乘，面积全部消掉，剩 $1$ 。逆定理同样由这条链反推：乘积为 $1$ 时 $C F$ 必过 $B E$ 与 $A D$ 的交点。

梅涅劳斯：平行线一拉就出来

过 $A$ 作直线 $l ∥ B C$ ，设截线交 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 于 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ， $l$ 与 $D E$ 交于 $G$ 。用平行线的比例（ $△ F A E ~$ 结构与 $△ G A E ~$ 结构各拉一次），三段比相乘即得 $1$ 。也可以像塞瓦那样全用面积做：把每个比写成两个三角形面积之比，相乘后成对消去。

例题

例1 梅涅劳斯求比

$D$ 在 $B C$ 上， $B D : D C = 1 : 2$ ； $E$ 在 $C A$ 上， $C E : E A = 3 : 1$ 。直线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于 $F$ ，求 $A F : F B$ 。

解：三点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 共线，梅涅劳斯定理： $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1$ 代入： $\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{A F}{F B} = 1$ ，得 $\frac{A F}{F B} = \frac{2}{3}$ 。

注意 $F$ 在延长线上这个信息与长度比不冲突：定理只问比值，位置（内分还是外分）已经由“ $D$ 、 $E$ 都在边上”决定了 $F$ 必在外部。

例2 三中线共点

用塞瓦定理证明三角形的三条中线交于一点。

解： $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 的中点，则 $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1 \times 1 \times 1 = 1$ 由塞瓦定理的逆定理， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 共点——这就是重心。

同样的板书还能处理：三条高所在的线（乘积里换成 $\tan$ 比，是塞瓦的三角版本），以及三条角平分线，见下一例。

例3 三条角平分线共点

$△ A B C$ 中， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 是三条内角平分线。证明它们交于一点。

解：由角平分线定理： $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}, \frac{C E}{E A} = \frac{B C}{A B}, \frac{A F}{F B} = \frac{A C}{B C}$ 相乘： $\frac{A B}{A C} \cdot \frac{B C}{A B} \cdot \frac{A C}{B C} = 1$ 。

塞瓦逆定理给出三线共点，这个点就是内心。

这道题的节奏很典型：每个比单独有一条定理管着，乘起来恰好为 1，共点是白捡的。用同样的填法还能证外角平分线的组合、中垂线的组合等一整族“三线共点”。

三个坑

两个定理用反：已知三点在一条直线上 → 梅涅劳斯；已知三条线过一个点（或要证共点）→ 塞瓦。公式相同，方向完全不同。
比的顺序写错：统一按 $B D / D C$ （从 $B$ 到 $C$ 的方向）、 $C E / E A$ 、 $A F / F B$ 环形书写，跳着写极易把分子分母接反。
延长线上的比：初中用长度比即可，但要知道定理里“三点中恰有一点在外部”（截线情形）或“偶数个点在外部”（共点情形）这类位置约束，画图时先摆好位置再算。

练习（先做，再看答案）

$D$ 在 $B C$ 上， $B D : D C = 2 : 3$ ； $E$ 在 $C A$ 上， $C E : E A = 1 : 4$ 。直线 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ，求 $A F : F B$ 。
$△ A B C$ 中 $D$ 为 $B C$ 上一点， $B D : D C = 1 : 3$ ， $A D$ 的中点为 $M$ ，直线 $B M$ 交 $A C$ 于 $E$ 。用梅涅劳斯求 $A E : E C$ 。
$P$ 是 $△ A B C$ 内部一点， $A P$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $S_{△ P B C} = 2$ ， $S_{△ P C A} = 3$ ， $S_{△ P A B} = 4$ 。用塞瓦的面积链求 $B D : D C$ 、 $C E : E A$ 、 $A F : F B$ （ $E$ 、 $F$ 分别是 $B P$ 、 $C P$ 与两边的交点），并验证乘积为 $1$ 。

看答案

1. $\frac{2}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{A F}{F B} = 1$ ， $A F : F B = 10 : 1$ 。

2. 设 $B D = x$ ， $D C = 3 x$ ，则 $B C = 4 x$ 。对 $△ A D C$ 与截线 $B$ – $M$ – $E$ （ $M$ 在 $A D$ 上， $B$ 在 $D C$ 延长线上）： $\frac{A M}{M D} \cdot \frac{D B}{B C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ ，即 $1 \times \frac{x}{4 x} \times \frac{C E}{E A} = 1$ ，得 $C E : E A = 4 : 1$ ，所以 $A E : E C = 1 : 4$ 。

3. 由本讲塞瓦证明里的那条链： $B D : D C = S_{△ A P B} : S_{△ A P C} = 4 : 3$ ？按方向核对： $\frac{B D}{D C} = \frac{S_{△ A B P}}{S_{△ A C P}} = \frac{4}{3}$ ；同理 $\frac{C E}{E A} = \frac{S_{△ B C P}}{S_{△ B A P}} = \frac{2}{4}$ ， $\frac{A F}{F B} = \frac{S_{△ A C P}}{S_{△ B C P}} = \frac{3}{2}$ 。乘积 $\frac{4}{3} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{2} = 1$ 。这三个比只由三块面积决定，与 $P$ 的具体位置无关。

一页速记

梅涅劳斯管共线，塞瓦管共点，乘积都是 $1$
书写顺序环形固定： $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B}$
塞瓦的面积链：每个比等于两块面积之比， $P$ 一到，比值全定
角平分线定理 + 塞瓦 = 三线共点白捡

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