面积法：把比例变面积

三角形面积 $S={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 底\times 高$。两个三角形若高相同，面积之比就是底之比；若底相同，面积之比就是高之比。这条看着平淡，用起来威力很大：

• $D$ 在 $BC$ 上，$△ABD$ 与 $△ACD$ 共顶点 $A$、底在同一直线上，高相同，所以 $$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{DC}$$
• 反过来，$BD:DC$ 不好算时，改算两个三角形面积之比，往往一步到位。

两个三角形有一条公共边 $BC$，顶点 $A$、$D$ 在 $BC$ 两侧，$AD$ 与 $BC$ 交于 $P$。那么

证明只用两次“同高看底”：${\displaystyle \frac{AP}{PD}}={\displaystyle \frac{S_{△ABP}}{S_{△DBP}}}={\displaystyle \frac{S_{△ACP}}{S_{△DCP}}}$，再由等比定理把分子、分母分别相加：

凡是在图里看到“$X$ 形交叉的两条线段求比”，先想想共边定理。

角平分线定理（$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$，则 ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$）可以不用全等、只用面积两步证完：

1. $D$ 在角平分线上，$D$ 到 $AB$、$AC$ 的距离相等，记为 $h$。于是 $S_{△ABD}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB·h$，$S_{△ACD}={\displaystyle \frac{1}{2}}AC·h$，两个面积之比为 $AB:AC$。
2. 另一方面 $BD:DC=S_{△ABD}:S_{△ACD}$（同高看底）。

两条链子拼起来，$BD:DC=AB:AC$。一个比，两条路各算一次，中间靠面积接起来——这就是面积法的标准节奏。

例1 由底的比求面积

$D$ 在 $BC$ 上，$BD:DC=2:3$，$S_{△ABD}=8$，求 $S_{△ABC}$。

解：同高看底，${\displaystyle \frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}}={\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$，代入 $S_{△ABD}=8$ 得 $S_{△ACD}=20$。

于是 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=8+20=28$。

注意比的方向：${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ 说明 $DC$ 段更长，它那块的面积应该更大，$20>8$ 正好对上。写完用直觉核一遍方向，是面积法的好习惯。

例2 共边定理直接用

$△ABC$ 与 $△DBC$ 共边 $BC$，$A$、$D$ 在 $BC$ 两侧，$S_{△ABC}=10$，$S_{△DBC}=6$，$AD$ 交 $BC$ 于 $P$，求 $AP:PD$。

解：由共边定理，${\displaystyle \frac{AP}{PD}}={\displaystyle \frac{S_{△ABC}}{S_{△DBC}}}={\displaystyle \frac{10}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$。

不用设坐标、不用证相似，一条定理写完。竞赛图里大量出现这种交叉结构，值得把共边定理背下来。

例3 梯形对角线分面积

梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$，对角线交于 $O$。证明 $S_{△ABO}=S_{△DCO}$。

解：$AD\parallel BC$，所以 $△ABD$ 与 $△ACD$ 同底 $AD$ 同高（两平行线间距离处处相等），面积相等： $$S_{△ABD}=S_{△ACD}$$ 两边同减公共部分 $S_{△AOD}$： $$S_{△ABO}=S_{△ABD}-S_{△AOD}=S_{△ACD}-S_{△AOD}=S_{△DCO}$$

顺带一提，${\displaystyle \frac{S_{△ABO}}{S_{△BOC}}}={\displaystyle \frac{AO}{OC}}={\displaystyle \frac{DO}{OB}}={\displaystyle \frac{S_{△DCO}}{S_{△BOC}}}$，梯形的这条“蝴蝶”结构在面积题里反复出现。