三角形的基本性质与不等关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这两句是同一件事的两种说法，但用途不同。

正面用：判断三条线段能不能围成三角形。只要检查两条较短边之和是否大于最长边——这一条成立，其余自动成立。

反面用：已知两边求第三边的范围。若两边为 $a$、$b$，第三边 $x$ 满足

注意两端都是开的：等于号取不到，取到就“压扁”成一条线段了。

三角形内角和是 ${180}^{\circ }$。把一边延长，外角等于与它不相邻的两个内角之和：

外角定理的价值在于它把“分散在两处的角”搬到一起。比较角的大小、求角度，先看看有没有现成的外角可用。

同一三角形中：大边对大角，大角对大边。这是把“边的比较”和“角的比较”互相翻译的桥梁。

竞赛里更常见的是反过来思考：要证线段不等，先去比它们对的角；要比较角度，先看它们对的边。 两边之间没有直接关系时，找一个公共的第三条线段（比如中线、角平分线、或翻折过去的线段）搭桥。

例1 求第三边的范围

三角形两边长为 $5$ 和 $8$，第三边长为 $x$，求 $x$ 的取值范围；若周长为偶数，这样的三角形有几个？

解：由三边关系，$8-5<x<8+5$，即 $3<x<13$。

周长 $13+x$ 为偶数，所以 $x$ 为奇数，$x$ 可取 $5,7,9,11$，共 4 个。

注意别把 $3$ 和 $13$ 算进去：$3+5=8$、$8+5=13$，都恰好“压扁”。

例2 一点到三个顶点

$P$ 是 $△ABC$ 内部一点，证明：$PA+PB+PC<AB+BC+CA$。

解：延长 $AP$ 交 $BC$ 于 $D$。在 $△PBD$ 中，$PB<PD+BD$，于是 $$PA+PB<PA+PD+BD=AD+BD<AC+CD+BD=AC+BC$$ 最后一步用了 $△ADC$ 中的三边关系：$AD<AC+CD$。

同理（延长 $BP$、$CP$）： $$PB+PC<BA+AC,PC+PA<CB+BA$$ 三式相加，左边是 $2(PA+PB+PC)$，右边是 $2(AB+BC+CA)$，除以 $2$ 即得结论。

这里的手法值得记住：一点与两顶点的折线，和第三边比大小，延长线段构造小三角形，把折线拆进三边关系里。

例3 由边定角

$△ABC$ 中 $AB>AC$，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$。证明 $\angle ADB>{90}^{\circ }$。

解：大边对大角，$AB>AC$ 说明 $\angle C>\angle B$。

用外角定理拆两个角： $$\angle ADB=\angle C+\angle CAD,\angle ADC=\angle B+\angle BAD$$ 而 $AD$ 平分 $\angle A$，$\angle CAD=\angle BAD$，两式相减得 $\angle ADB>\angle ADC$。

又 $\angle ADB+\angle ADC={180}^{\circ }$（邻补角），大的那个超过一半，所以 $\angle ADB>{90}^{\circ }$。