三角形的四心

认心信号：题目给中线或“中点连线”想重心；给相等线段从一点出发（$OA=OB=OC$）想外心；给角平分线或“到两边距离相等”想内心；给垂直成对出现想垂心。

重心把每条中线分成 $2:1$（顶点到心 : 心到中点）。这个比来自中位线构造：延长 $GD$ 一倍，出平行四边形，一算便知。

面积上，三条中线把 $△ABC$ 分成六个小块面积相等，于是三块“角上”的三角形 $△ABG$、$△BCG$、$△CAG$ 面积也相等，各占总面积的三分之一。只要看到重心，面积立刻三等分，这是重心题最常用的一步。

设内切圆半径 $r$，半周长 $p={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$。把三角形切成三个以 $I$ 为顶点的小三角形，面积相加：

由 $S$ 和 $p$ 立刻得 $r={\displaystyle \frac{S}{p}}$。直角三角形还有个现成结论：内切圆半径 $r={\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$（$c$ 为斜边），由切线长相等两步可推。

外心一到位，外接圆就到位，圆周角定理马上能上场：$\angle BOC=2\angle A$（$O$ 为外心，同对弧 $BC$）。求“外心与顶点连线形成的角”，基本都走这条。

例1 重心与面积

$G$ 是 $△ABC$ 的重心，$S_{△ABC}=36$，求 $S_{△BCG}$；再求中线 $AD$ 上，$AG$ 的长与整条中线长的比（不用具体长度）。

解：重心分大三角形为三块等面积：$S_{△BCG}=36÷3=12$。

2:1 性质直接给 $AG:GD=2:1$，所以 $AG$ 占整条中线 $AD$ 的 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$。

若进一步想要 $S_{△BCG}$ 与小块的关系：$GD$ 把 $△BCG$ 对半分（$D$ 是 $BC$ 中点），每块 $6$，正是六等积的六分之一块——两条性质互相印证。

例2 内切圆半径

三角形三边长为 $5$、$12$、$13$，求内切圆半径。

解：$5^2+{12}^2={13}^2$，是直角三角形，斜边 $13$。

半周长 $p={\displaystyle \frac{5+12+13}{2}}=15$，面积 $S={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 5\times 12=30$。

$r={\displaystyle \frac{S}{p}}={\displaystyle \frac{30}{15}}=2$。

核对直角三角形公式：$r={\displaystyle \frac{5+12-13}{2}}=2$，一致。

例3 外心求角

$△ABC$ 中 $AB=AC$，$\angle A={40}^{\circ }$，$O$ 是外心。求 $\angle OBC$。

解：$OB=OC$，$△OBC$ 等腰。先求顶角：$\angle BOC=2\angle A={80}^{\circ }$（同对弧 $BC$）。

底角：$\angle OBC={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{80}^{\circ }}{2}}={50}^{\circ }$。

顺便验一下位置：等腰三角形外心在顶角的平分线上，$AO$ 延长后过 $BC$ 中点，对称结构与 ${50}^{\circ }$ 不冲突。