梯形与中位线

连接三角形两边中点的线段叫中位线。定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

证明思路值得记：延长中位线 $DE$ 一倍到 $F$（$DE=EF$），连 $FC$。$△ADE$ 与 $△CFE$ 里 $AE=EC$、对顶角、$DE=FE$，全等，得 $CF=AB$、$CF\parallel AB$；于是 $BCFD$ 是平行四边形（一组对边 $CF$ 与 $BD$ 平行且相等），$DF=BC$ 且 $DF\parallel BC$，所以 $DE\parallel BC$ 且 $DE={\displaystyle \frac{BC}{2}}$。

“延长一倍”造全等，和上一册倍长中线是同一个家族的手法。

三条中位线把三角形分成四个全等的小三角形，每个的面积都是原来的四分之一——周长减半、面积减半再减半，这组数据在题里反复出现。

梯形两腰中点的连线平行于底，且等于两底之和的一半：

它正好是“平均”的几何化身：把梯形沿中位线剪开再拼一拼，能拼成一个以 $MN$ 为底、以高为高的平行四边形，面积 $=MN\times h$。所以梯形面积还能写成

梯形没有平行四边形那样的现成性质，套路是添线把它翻译掉：

1. 平移一腰：过上底端点作一腰的平行线，梯形拆成一个平行四边形加一个三角形，两腰、两角的关系全集中到那个三角形里。等腰梯形尤其好用——平移后得到等腰三角形。
2. 平移对角线：过上底端点作另一条对角线的平行线，两条对角线与两底一起进同一个三角形，凡与对角线有关的题（交角、长度和差）走这条。
3. 作双高：从上底两端向下底作两条垂线，梯形拆成两个直角三角形加一个矩形，等腰梯形里两个直角三角形全等，中间那段等于上底。

例1 三条中位线的收获

$△ABC$ 的周长为 $18$，三条中位线围成 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$，求它的周长与面积比。

解：每条中位线都是对应边的一半，新三角形三边各减半，周长 $=18÷2=9$。

相似比为 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$，面积比是平方：新三角形面积占原三角形的 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$。

例2 梯形中位线被对角线分开

梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$，$AD=4$，$BC=10$，中位线 $MN$ 交对角线 $AC$ 于 $P$（$M$ 在 $AB$ 上，$N$ 在 $CD$ 上）。求 $MP$ 与 $PN$。

解：$MN\parallel AD\parallel BC$。在 $△ABC$ 中，$M$ 是 $AB$ 中点、$MP\parallel BC$，所以 $P$ 是 $AC$ 中点，且 $$MP=\frac{BC}{2}=5$$ 在 $△ACD$ 中同理，$PN={\displaystyle \frac{AD}{2}}=2$。

核对：中位线全长 $MP+PN=7={\displaystyle \frac{4+10}{2}}$，与梯形中位线定理一致。规律：对角线把梯形中位线分成两段，各等于上底、下底的一半。

例3 平移腰求面积

等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AD=7$，$BC=13$，腰 $AB=5$，求梯形面积。

解：过 $A$ 作 $AE\parallel DC$ 交 $BC$ 于 $E$。$AECD$ 是平行四边形，$EC=AD=7$，$AE=DC=AB=5$。

于是 $△ABE$ 中 $BE=13-7=6$，$AB=AE=5$，是腰 $5$、底 $6$ 的等腰三角形。取 $BE$ 中点 $F$，$BF=3$，高 $$AF=\sqrt{5^2-3^2}=4$$ 梯形的高就是 $AF=4$，面积 $={\displaystyle \frac{7+13}{2}}\times 4=40$。

平移腰之后，“梯形求高”变成“等腰三角形求高”，一半底、一条腰、勾股三步完事。