相似三角形：判定与比例

相似三角形判定常用的就三条：

1. 两角相等（AA）——最快，竞赛首选；
2. 两边成比例且夹角相等（SAS 型）；
3. 三边成比例（SSS 型）。

优先找两角：公共角、对顶角、同弧上的圆周角、平行线产生的同位角，都是白送的相等角。找到一个公共角后，只须再凑一对角，或凑“夹这角的两边成比例”。

直角三角形斜边上作高，把大三角形分成两个小三角形，三个三角形彼此相似：

由此得到一组“射影定理”式的等式：

它的通用版本是：$△ABC$ 中 $D$ 在 $BC$ 上，若 $\angle BAD=\angle C$，则 $△ABD~△CBA$（公共角 $\angle B$ 加一对等角），立刻得到

一个角的相等条件 + 公共角，就能换来“平方等式”，这类结构在竞赛题里非常高频。

一条直线上排三个相等的角（如 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$），必然产生一对相似三角形。原因：$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ 所在的平角给出顶角的补角关系，两个“外侧三角形”各有两角对应相等。

典型场景：正方形顶点处 ${45}^{\circ }$、等腰直角三角形直角顶点、或题目直接给 $\angle ADE=\angle B$。识别到“一线三等角”，相似立刻成立，比例式跟着写。

相似比为 $k$ 的两个三角形，面积比为 $k^2$。反过来，知道面积比，开方才是相似比——高与对应中线、角平分线之比都是 $k$，唯独面积要平方。这一条与上一讲的面积法接在一起，就是处理“平行线截三角形”问题的全套工具。

例1 斜边上的高

Rt$△ABC$ 中，$\angle C={90}^{\circ }$，$CD⟂AB$ 于 $D$，$AC=3$，$BC=4$，求 $CD$。

解：$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

面积两算：${\displaystyle \frac{1}{2}}AC·BC={\displaystyle \frac{1}{2}}AB·CD$，得 $$CD=\frac{3\times 4}{5}=\frac{12}{5}$$

也可以走母子相似：$△ACD~△ABC$ 给 $AD={\displaystyle \frac{A{C}^2}{AB}}={\displaystyle \frac{9}{5}}$，$△BCD~△BAC$ 给 $BD={\displaystyle \frac{B{C}^2}{AB}}={\displaystyle \frac{16}{5}}$，再用 $C{D}^2=AD·BD={\displaystyle \frac{9}{5}}·{\displaystyle \frac{16}{5}}$，开方同样得 ${\displaystyle \frac{12}{5}}$。面积法一行，相似两行，但相似这条路的副产品 $AD$、$BD$ 常常正是后续要用的量。

例2 平行线截三角形

$D$ 在 $AB$ 上，$DE\parallel BC$ 交 $AC$ 于 $E$，$AD=2$，$DB=3$，$S_{△ADE}=4$，求 $S_{△ABC}$。

解：$DE\parallel BC$ 给 $△ADE~△ABC$，相似比 $$k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$$ 面积比是平方：${\displaystyle \frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}}={\displaystyle \frac{4}{25}}$，所以 $S_{△ABC}=4\times {\displaystyle \frac{25}{4}}=25$。

例3 平方等式

$△ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$BD=2$，$DC=6$，且 $\angle BAD=\angle C$，$AB=4$。求 $AC$。

解：$\angle BAD=\angle C$，$\angle B$ 公共，所以 $△ABD~△CBA$（AA）。

对应边成比例：${\displaystyle \frac{AB}{CB}}={\displaystyle \frac{BD}{BA}}={\displaystyle \frac{AD}{CA}}$。前两条给 $A{B}^2=BD·BC=2\times 8=16$，与 $AB=4$ 相符（先核一遍自洽）。

再用 ${\displaystyle \frac{AB}{CB}}={\displaystyle \frac{AD}{CA}}$？直接走另一条：相似比 $k={\displaystyle \frac{AB}{CB}}={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$，所以 $AC={\displaystyle \frac{AD}{k}}=2AD$。还差 $AD$：由 ${\displaystyle \frac{BD}{BA}}={\displaystyle \frac{AD}{AB·?}}$——换用 ${\displaystyle \frac{AD}{CA}}={\displaystyle \frac{AB}{CB}}$ 与 $A{C}^2=CD·CB$（母子相似在 $C$ 端的版本：$△ACD~△BCA$，公共角 $C$）： $$A{C}^2=CD·CB=6\times 8=48,AC=4\sqrt{3}$$

同一组条件能换来好几个等式，动笔前先把整条比例链写全，再挑最短的一条用。