利用对称性

若题目的条件关于 $x$、$y$ 对称（交换 $x$、$y$ 条件不变），则结论中 $x$ 与 $y$ 必以对称面目出现：能解出 $x=3,y=5$，就必然也能解出 $x=5,y=3$。由此得到两个直接用法：

• 答案结构预判：目标式必为对称式，先化成 $s=x+y$、$p=xy$ 的组合再算；
• 特殊化捷径：对称条件下可先取 $x=y$、等边三角形、正方形等对称特例探路，把答案“猜”出来再补一般证明。

• 完全对称：任意交换两个字母不变，如 $x^2+y^2+z^2$；
• 轮换对称：只按 $x\to y\to z\to x$ 轮换不变，如 ${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{z}}+{\displaystyle \frac{z}{x}}$。

轮换式分解时常见的因子族是 $(x-y)$、$(y-z)$、$(z-x)$ 的乘积，即 $(x-y)(y-z)(z-x)$ 型。

例1 对称化求值

实数 $x$、$y$ 满足 $x+y=6$、$xy=7$，求 $x^4+y^4$。

解：目标是对称式，先降次：

$$x^2+y^2=36-14=22,$$ $$x^4+y^4=(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2=484-98=386.$$

例2 特殊化探路

正三角形内一点到三边距离分别为 $d_1$、$d_2$、$d_3$，求证 $d_1+d_2+d_3$ 为定值并求该值（边长为 $a$）。

解：结论关于三边对称，先取对称特例：点取中心时三距离相等，各为 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}a$，和为 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a$，猜出定值。

一般证明用面积法：连接 $P$ 与三顶点，把三角形拆成三个小三角形：

$$\frac{1}{2}a(d_1+d_2+d_3)=S_{正三角形}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2,$$

得 $d_1+d_2+d_3={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a$，与特例一致。对称特例猜答案、面积法补证明，两段合起来又快又稳。

例3 轮换分解

分解因式：$(x-y{)}^3+(y-z{)}^3+(z-x{)}^3$。

解：式子轮换对称，且当 $x=y$ 时三个立方为 $0+(y-z{)}^3+(z-y{)}^3=0$，说明 $x=y$ 使整式为零，含因子 $(x-y)$；同理含 $(y-z)$、$(z-x)$。三次式除以这三个一次因式只剩常数：

$$原式=k(x-y)(y-z)(z-x).$$

取 $x=1,y=0,z=-1$：左边 $=1+1-8=-6$；右边 $k·1·1·(-2)=-2k$，得 $k=3$。所以原式 $=3(x-y)(y-z)(z-x)$。

“取零探因子、代值定系数”是轮换分解的两板斧。