恰当换元

换元的三条线索：

• 重复整体：同一个式子出现两次以上（如 $x^2$、$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$、$\sqrt{x+1}$），设它为 $t$；
• 对称结构：$x+y$ 与 $xy$ 总是成对出现，设 $s=x+y$、$p=xy$，对称式全化为 $s,p$；
• 比例结构：齐次式设比值 ${\displaystyle \frac{y}{x}}=t$，消掉一个变量。

换元前先写新元范围：$t=\sqrt{x+1}$ 要求 $t\ge 0$，丢范围会多解。

次数降下来、变量减下来、结构露出来。检验换元好坏的办法：换完之后能否一眼看出下一步。换完反而更乱，说明元选错了。

例1 高次方程

解方程 $(x^2-3x{)}^2-8(x^2-3x)+12=0$。

解：$x^2-3x$ 出现两次，设 $t=x^2-3x$：

$$t^2-8t+12=0,(t-2)(t-6)=0,t=2\text{ 或 }6.$$

回代：$x^2-3x=2$ 给出 $x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{17}}{2}}$；$x^2-3x=6$ 给出 $x=6$ 或 $x=-1$。

四个解：${\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{17}}{2}},6,-1$。

例2 对称换元

已知 $x+y=5$、$xy=3$，求 $x^3+y^3$ 的值。

解：对称式化为 $s=x+y$、$p=xy$：$x^2+y^2=s^2-2p=25-6=19$，

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=s(s^2-3p)=5\times (25-9)=80.$$

对称多项式永远能写成 $s,p$ 的组合，这是韦达定理的代数基础。

例3 齐次比值

已知 ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$，求 ${\displaystyle \frac{2x^2-xy}{x^2+y^2}}$。

解：设 $x=3k$、$y=4k$（$k\ne 0$）：

$$\frac{2\times 9k^2-12k^2}{9k^2+16k^2}=\frac{6k^2}{25k^2}=\frac{6}{25}.$$

齐次式的值与 $k$ 无关，比值换元后 $k$ 自动约掉。