极端原理

有限个对象中必有最大者与最小者。极端元素“没有邻居比它更大（小）”，这个单向的硬性质常成为推理的突破口：

• 证“存在满足某性质的元素”：取极端元素，证明它非满足不可；
• 配合反证：若极端元素都不满足要求，则所有元素都不满足，再导出与极端性矛盾。

面积最大、边最长、距离最短、认识人数最多、剩余最少……选的标准是：结论涉及的量在哪取到，就从哪里取极端。结论说“存在两人认识的人数相同”，就看认识人数的最大值。

例1 最大面积的内接三角形

在圆内接三角形中，面积最大的是等边三角形。用极端原理说明思路。

解：设 $△ABC$ 是圆内接三角形中面积最大者（存在性由紧致性保证，竞赛中直接取）。固定 $B$、$C$，面积等于 ${\displaystyle \frac{1}{2}}·BC·h$，要面积最大需 $A$ 到 $BC$ 距离最大，即 $A$ 为弧中点，$AB=AC$。

对三个顶点各做一次：$B$ 是 $AC$ 对应弧中点、$C$ 是 $AB$ 对应弧中点，于是三边相等，最大者是等边三角形。面积公式里“底固定看高”把每个顶点都逼到弧中点，极端元素的结构被完全锁定。

例2 认识人数的极端

若干人聚会（认识相互），证明必有两人认识的人数相同。

解：设认识人数最多的人为 $A$，认识了 $d$ 人。按 $d$ 是否等于“总人数减一”分类：

若无人认识所有人（$d$ 小于 $n-1$，$n$ 为总人数），则每人认识人数取值于 $1$ 到 $n-2$ 共 $n-2$ 种？允许 $0$ 到 $n-2$ 共 $n-1$ 种，$n$ 人分入 $n-1$ 种取值，由抽屉原理两人相同。

若有人认识所有人，则无人认识 $0$ 人，取值范围是 $1$ 到 $n-1$ 共 $n-1$ 种，同样 $n$ 人入 $n-1$ 种，两人相同。

两种情况合起来，取值范围至多 $n-1$ 种而人有 $n$ 个，结论成立。极端（最大值）先把取值范围压掉一端，抽屉收尾。

例3 最短线段

平面上 $n$ 个点（$n\ge 3$）两两连成线段，取其中最短的 $AB$。证明：其余 $n-2$ 个点都落在以 $AB$ 为底、两个等边三角形拼成的区域外……直接给经典形式：证明其余各点到 $A$、$B$ 的距离都不小于 $AB$。

解：$AB$ 是所有线段中最短者，任何点 $C$ 与 $A$、$B$ 的连线 $CA$、$CB$ 都是这些线段之一，长度不小于 $AB$。

这一条直接由“最短”读出，推理只有一行，但它正是许多组合几何题的第一块砖：例如三点构成三角形时，$\angle C$ 所对的边 $AB$ 最短，故 $\angle C$ 是最小角，不超过 ${60}^{\circ }$。