面积法

面积是几何量的“公共货币”：同一个面积用不同方式表达，就得到恒等式；两个面积作比，公共因子自动消掉。常用三招：

• 算两次：整体面积等于各块之和，换个划分方式再算一遍；
• 同高不同底：同高三角形面积比等于底之比，用来给线段比定价；
• 面积桥：要证 ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$，找两个三角形使这些比都变成面积比，中间搭桥。

例1 角平分线定理

在 $△ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$。求证 ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$。

解：$△ABD$ 与 $△ACD$ 共顶点 $A$、底在同一直线 $BC$ 上，高相同（都等于 $A$ 到 $BC$ 的距离），故

$$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}.$$

再换一种算法：把这两个三角形分别以 $AB$、$AC$ 为底看，高是 $D$ 到两边的距离，而 $D$ 在角平分线上，到 $AB$、$AC$ 的距离相等，于是

$$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

两个算法衔接得 ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$。同一对面积、两种切法，这就是面积法的全部秘密。

例2 中线定比

$△ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 中点，$N$ 是 $AM$ 中点，射线 $BN$ 交 $AC$ 于 $P$。求 $AP:PC$。

解：设 $S_{△ABC}=S$。$M$ 为 $BC$ 中点且 $△ABM$、$△ACM$ 同高，故 $S_{△ABM}=S_{△ACM}={\displaystyle \frac{S}{2}}$。

$N$ 是 $AM$ 中点，在 $△ABM$ 中 $BN$ 是中线，$S_{△ABN}=S_{△BMN}={\displaystyle \frac{S}{4}}$；在 $△ACM$ 中 $CN$ 是中线，$S_{△ACN}=S_{△CMN}={\displaystyle \frac{S}{4}}$。

于是 $S_{△CBN}=S_{△BMN}+S_{△CMN}={\displaystyle \frac{S}{2}}$。

$△ABN$ 与 $△CBN$ 同底 $BN$，面积比等于 $A$、$C$ 到直线 $BN$ 的距离之比；而 $P=AC\cap BN$，这个距离比恰为 ${\displaystyle \frac{AP}{PC}}$：

$$\frac{AP}{PC}=\frac{S_{△ABN}}{S_{△CBN}}=\frac{S/4}{S/2}=\frac{1}{2}.$$

所以 $AP:PC=1:2$。

例3 张角定值

$P$ 为等边三角形 $ABC$ 内一点，$S_{△PAB}=S_1$、$S_{△PBC}=S_2$、$S_{△PCA}=S_3$。若 $S_1=S_2=2$、$S_3=1$，问 $P$ 更靠近哪条边。

解：三个小三角形同底（都为 $a$）时面积比等于点到底边距离比，$S_3$ 最小说明 $P$ 到 $CA$ 最近，即 $P$ 最靠近边 $CA$。

顺带一提总面积 $5$ 与边长满足 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}^2=5$，需要边长时立即可解。面积把“点在形内的位置”翻译成三个可运算的数，这是坐标思想之外最便宜的定位手段。