判别式的用法

对 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$），$\Delta =b^2-4ac$：

• $\Delta$ 大于 $0$：两个不相等实根；等于 $0$：两个相等实根；小于 $0$：无实根。
• 参数视角：方程有实根 $\iff \Delta \ge 0$，由此解出参数范围。
• 不等式视角：一个处处非负的二次式（如 $x^2+px+q\ge 0$ 对所有 $x$ 成立）等价于开口向上且 $\Delta \le 0$。

第三副面孔是竞赛主力：把“恒成立”翻译成 $\Delta \le 0$，把“存在”翻译成 $\Delta \ge 0$。

判别式只对实系数一元二次方程负责：二次项系数含参时要讨论是否为零（退化成一次）；“有实根”若允许重根，取等号别丢。

例1 参数范围

关于 $x$ 的方程 $x^2-(k-1)x+k+2=0$ 有两个不相等的实根，求 $k$ 的范围。

解：$\Delta =(k-1{)}^2-4(k+2)=k^2-6k-7=(k-7)(k+1)$。

要 $\Delta$ 大于 $0$：$k$ 大于 $7$ 或 $k$ 小于 $-1$。

例2 恒成立

对一切实数 $x$，不等式 $x^2-2mx+m+1\ge 0$ 恒成立，求 $m$ 的范围。

解：开口向上且 $\Delta \le 0$：

$$\Delta =4m^2-4(m+1)\le 0,m^2-m-1\le 0,$$

解得 ${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\le m\le {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$。

例3 构造方程证不等式

已知实数 $a$、$b$ 满足 $a\ne b$ 且 $ab=4$，证明 $(a+b{)}^2$ 大于 $16$。

解：以 $a$、$b$ 为根构造二次方程 $t^2-st+4=0$，其中 $s=a+b$。

$a$、$b$ 是不相等的实数，即该方程有两个不等实根，$\Delta =s^2-16$ 大于 $0$，也就是 $(a+b{)}^2$ 大于 $16$。

把已知量看成“根”，反手构造方程、再用 $\Delta$ 的符号，许多乘积型不等式一步到位。顺带取等的临界 $a=b$ 时 $(a+b{)}^2=16$，正是“等于”被 $a\ne b$ 排除掉的情形。