初中数学竞赛 · 竞赛解题方法与策略

巧用平方差

看到平方相减就分解，看到相邻整数相乘就补一。

八年级难度 ★★10 分钟

三个信号

见到下面三种形态，第一反应都应是平方差：

平方相减： $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ，直接分解；
相邻整数乘积： $n (n + 1) = n^{2} + n = (n + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ ？更实用的是 $4 n (n + 1) = (2 n + 1)^{2} - 1$ ，乘 $4$ 后立刻出现平方差；
轮换对称的差：多个字母的式子出现 $x - y$ 因子时，在 $x = y$ 处取零，意味着含因子 $(x - y)$ ，常用平方差（及立方差）拆出来。

两条典型用法

降次：高次幂的差 $a^{m} - a^{n}$ 提出公因子后剩 ${(a^{m - n})}^{k}$ 型结构，继续平方差；
数论估界：证明某数不是完全平方数，常用“它夹在两个相邻平方数之间”，而相邻平方数的差 $2 n + 1$ 正是平方差的展开。

例题

例1 化简求值

计算 $2025^{2} - 2024^{2} + 2023^{2} - 2022^{2} + \dots + 3^{2} - 2^{2} + 1$ 。

解：相邻两两配对用平方差：
$2025^{2} - 2024^{2} = (2025 + 2024) (2025 - 2024) = 4049,$
同理每一对都等于“这两数之和”。原式共 $1012$ 对（从 $2$ 到 $2025$ 共 $2024$ 个数）加末尾的 $1$ ：
$原式 = (2025 + 2024) + (2023 + 2022) + \dots + (3 + 2) + 1 = 2 + 3 + \dots + 2025 .$
求和： $\frac{(2 + 2025) \times 2024}{2} = 2027 \times 1012 = 2051324$ 。

例2 相邻乘积凑平方

求 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) \dots (1 + \frac{1}{99})$ 的值。

解：每个因子拆成和： $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{100}{99}$ ，分子分母错位相消，剩 $\frac{100}{2} = 50$ 。

相消的根源仍是乘法结构里的“相邻项”，与平方差配对属于同一族技巧：找到错位，让它自己消掉。

例3 非平方数证明

证明 $2023 \times 2025 + 2$ 不是完全平方数。

解： $2023 \times 2025 = (2024 - 1) (2024 + 1) = 2024^{2} - 1$ ，所以原数 $= 2024^{2} + 1$ 。

它比 $2024^{2}$ 大 $1$ ，比 $2025^{2} = (2024^{2} + 4049)$ 小，夹在两个相邻平方数之间，不是完全平方数。

相邻奇数乘积 $+ 1$ 恰好落在平方数正后方一格，“夹逼”是判断非平方的标准姿势。

三个坑

该分解不分解：高次式硬算，先看能否平方差降次。
配对漏项：从 $2$ 到 $2025$ 有 $2024$ 个数即 $1012$ 对，奇偶个数要数清。
夹逼不闭合：证非平方必须同时给出“大于前一个平方、小于后一个平方”两个方向。

练习（先做，再看答案）

计算 $10^{2} - 9^{2} + 8^{2} - 7^{2} + \dots + 2^{2} - 1$ 。
证明 $n (n + 2)$ 不是完全平方数（ $n$ 为正整数）。
分解因式： $x^{4} - 16$ 。

看答案

1. 每对用平方差等于两数之和： $(10 + 9) + (8 + 7) + \dots + (2 + 1) = 2 \times (1 + 2 + \dots + 10) - 10$ ？直接算：每对和为 $19, 15, 11, 7, 3$ ，合计 $55$ 。

2. $n (n + 2) = (n + 1)^{2} - 1$ ，夹在 $n^{2}$ （更小）与 $(n + 1)^{2}$ 之间且小于 $(n + 1)^{2}$ 、大于 $n^{2}$ ？核对： $(n + 1)^{2} - 1$ 大于 $n^{2}$ 当 $2 n \geq 0$ 成立，故夹在 $n^{2}$ 与 $(n + 1)^{2}$ 之间，不是完全平方数。

3. $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 。

一句话收束

平方相减就分解，相邻乘积乘四凑平方差，证非平方找相邻平方数夹逼。

看完了？ 去竞赛解题方法与策略做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。