韦达定理的用法

$x_1$、$x_2$ 是 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$，$\Delta \ge 0$）的两根时：

两个前提别丢：二次项系数非零、根是实数（$\Delta \ge 0$）。求参数的题里，$\Delta \ge 0$ 常是漏掉的半边答案。

• 对称式求值：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$，${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{x_2}{x_1}}={\displaystyle \frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}}$，一切两根的对称式都能由和与积拼出；
• 构造方程：以 $u$、$v$ 为根的方程是 $x^2-(u+v)x+uv=0$；
• 差的平方：$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2={\displaystyle \frac{\Delta }{a^2}}$，两根距离类问题走这条。

例1 对称式求值

$x_1$、$x_2$ 是 $x^2-4x-1=0$ 的两根，求 $x_1^2+x_2^2$ 与 ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$。

解：$x_1+x_2=4$，$x_1{x}_2=-1$。

$$x_1^2+x_2^2=16-2\times (-1)=18,$$ $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{4}{-1}=-4.$$

例2 求参数

关于 $x$ 的方程 $x^2-(k+1)x+k^2-2=0$ 的两根的平方和为 $5$，求 $k$。

解：由韦达定理 $x_1+x_2=k+1$，$x_1{x}_2=k^2-2$。平方和：

$$x_1^2+x_2^2=(k+1{)}^2-2(k^2-2)=-k^2+2k+5.$$

令它等于 $5$：$-k^2+2k=0$，解得 $k=0$ 或 $k=2$。

逐一验证实根存在：$k=0$ 时方程 $x^2-x-2=0$，$\Delta =9\ge 0$，两根 $2$ 与 $-1$，平方和恰为 $5$；$k=2$ 时方程 $x^2-3x+2=0$，$\Delta =1\ge 0$，两根 $2$ 与 $1$，平方和为 $5$。两个值都取。

例3 两根之差

方程 $x^2-6x+4=0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$，求 $|x_1-x_2|$。

解：$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=36-16=20$，故 $|x_1-x_2|=2\sqrt{5}$。

也可以直接用 ${\displaystyle \frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}}=\sqrt{20}$，两条路一个本质。