初中数学竞赛 · 竞赛解题方法与策略

主元素法

字母太多时，挑一个当主角，其余全部看成数。

八年级难度 ★★★11 分钟

核心动作

字母一多式子就乱。选定一个字母当主元，把其余字母当作已知数，按主元降幂排列，多字母问题就变成“带参数的单变量问题”：

分解因式：按主元整理后往往能提公因子或套公式；
比大小：作差后按主元整理成一次或二次，符号一目了然；
方程与不等式：参数只是观众，解出主元再回头讨论。

选主元的原则：次数最低、结构最简单的那个字母优先。

例题

例1 分解因式

分解因式： $x^{2} - y^{2} + 2 x - 4 y - 3$ 。

解：以 $x$ 为主元、 $y$ 当常数。先用平方差拆前两项： $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ ，于是设
$原式 = (x + y + a) (x - y + b),$
展开比对系数：一次项 $a + b = 2$ （ $x$ 项）、 $b - a = - 4$ （ $y$ 项）、常数 $a b = - 3$ 。

由前两式 $b = - 1$ 、 $a = 3$ ，恰好 $a b = - 3$ 与第三式吻合，所以
$原式 = (x + y + 3) (x - y - 1) .$
待定系数三条件两两吻合，分解成功；若第三式对不上，说明不能这样拆，需要换主元或判定不可分解。

例2 比大小

比较 $a^{2} + 3 b^{2}$ 与 $2 b (a + b)$ 的大小（ $a$ 、 $b$ 为任意实数）。

解：作差并以 $a$ 为主元整理：
$a^{2} + 3 b^{2} - 2 a b - 2 b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2} \geq 0 .$
所以 $a^{2} + 3 b^{2} \geq 2 b (a + b)$ ，等号当 $a = b$ 时成立。作差、按主元整理成平方和，符号直接读出。

例3 方程视角

关于 $x$ 的方程 $m x^{2} + 2 x - 1 = 0$ （ $m$ 为参数）讨论根的情况。

解：以 $x$ 为主元， $m$ 当观众，分两类：

$m = 0$ ：一次方程 $2 x - 1 = 0$ ， $x = \frac{1}{2}$ ； $m \neq 0$ ：二次方程， $Δ = 4 + 4 m$ 。 $m \geq - 1$ 且 $m \neq 0$ 时有实根（ $m = - 1$ 时两等根， $m$ 大于 $- 1$ 时两不等实根）； $m$ 小于 $- 1$ 时无实根。

参数讨论的骨架就是主元法：先看主元方程的“次”会不会塌（ $m = 0$ ），再看判别式。

三个坑

主元选错：选了次数最高的字母，整理后一团糟；换低次字母重来。
漏掉降次情形：二次项系数含参时 $m = 0$ 单独讨论。
分解题硬凑：待定系数解不出整数解时接受“不可分解”，别硬写因子。

练习（先做，再看答案）

以 $y$ 为主元整理 $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + x - y$ 并分解因式。
比较 $a^{2} + 4 b^{2}$ 与 $4 a b - 1$ 的大小。
关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} + 2 k x + 1 = 0$ 有实根，求 $k$ 的范围。

看答案

1. 按 $y$ 为主元整理： $2 y^{2} - (3 x + 1) y + x^{2} + x$ 。把 $x$ 当常数解关于 $y$ 的二次方程，判别式 $(3 x + 1)^{2} - 8 (x^{2} + x) = (x - 1)^{2}$ 是完全平方，两根 $y = x$ 与 $y = \frac{x + 1}{2}$ ，所以原式 $= (y - x) (2 y - x - 1)$ 。

2. 作差： $a^{2} + 4 b^{2} - 4 a b + 1 = (a - 2 b)^{2} + 1$ 大于 $0$ ，故 $a^{2} + 4 b^{2}$ 恒大于 $4 a b - 1$ 。

3. $k = 1$ 时方程 $2 x + 1 = 0$ 有实根，取； $k \neq 1$ 时 $Δ = 4 k^{2} - 4 (k - 1) = 4 k^{2} - 4 k + 4 = 4 (k^{2} - k + 1)$ ，其中 $k^{2} - k + 1 = {(k - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ 恒正，故总有实根。综上一切实数 $k$ 均可。

一句话收束

字母多就立主角：其余当数，按主元降幂整理；分解靠十字，比大小靠平方和，讨论先看次数塌不塌。

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