初中数学竞赛 · 整除、同余与不定方程

勾股方程：把无穷多组解写成公式

x²+y²=z² 有无穷多组正整数解，而且能用一个公式全部生成。这一节讲通解怎么来的，以及怎么用它判断“有没有解”。

八~九年级难度 ★★★★16 分钟

先看几组解

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}, 5^{2} + 12^{2} = 13^{2}, 8^{2} + 15^{2} = 17^{2}, 7^{2} + 24^{2} = 25^{2}

这些不是碰巧凑出来的，它们来自同一个公式。

通解公式

方程 $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 的全部正整数解（ $x$ 为偶数的那一支）可以写成

x = 2 m n, y = m^{2} - n^{2}, z = m^{2} + n^{2}

其中 $m > n > 0$ 是正整数。如果还要求 $x, y, z$ 互素（叫本原勾股数），则再加两个条件： $gcd (m, n) = 1$ ，且 $m, n$ 一奇一偶。

怎么记

$2 m n$ 、 $m^{2} - n^{2}$ 、 $m^{2} + n^{2}$ 三个数，前两个是直角边，第三个是斜边。验证： $(2 m n)^{2} + (m^{2} - n^{2})^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2}$ ，展开正好相等。

公式怎么推出来的

由 $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 得 $x^{2} = (z - y) (z + y)$ 。

设 $x$ 为偶数，令 $x = 2 k$ ，则 $4 k^{2} = (z - y) (z + y)$ 。设 $z - y = 2 u$ ， $z + y = 2 v$ ，则 $k^{2} = u v$ ，且 $z = u + v$ ， $y = v - u$ 。

若 $gcd (u, v) = 1$ ， $u v$ 是完全平方数，则 $u, v$ 各自是平方数： $u = n^{2}$ ， $v = m^{2}$ 。代回就得到上面的公式。

一条常用结论

本原勾股数中， $x, y$ 一奇一偶，且乘积 $x y$ 一定能被 $12$ 整除，周长 $x + y + z$ 一定是偶数，面积 $\frac{x y}{2}$ 一定是 $6$ 的倍数。

例题

例1 生成勾股数

用 $m = 5, n = 2$ 生成一组勾股数。

解： $x = 2 \times 5 \times 2 = 20$ ， $y = 25 - 4 = 21$ ， $z = 25 + 4 = 29$ 。

验证： $400 + 441 = 841 = 29^{2}$ ✓。

$gcd (5, 2) = 1$ ，一奇一偶，所以这是本原勾股数。

例2 判断能否构成直角三角形

三边长为 $9, 40, 41$ ，能否构成直角三角形？

解： $9 = 2 m n$ 需要 $m n = 4.5$ ，不是整数。换用 $y = m^{2} - n^{2} = 9$ ： $(m - n) (m + n) = 9$ ，得 $m = 5, n = 4$ 。

验证： $2 \times 5 \times 4 = 40$ ， $5^{2} + 4^{2} = 41$ ✓。所以是勾股数，能构成直角三角形。

例3 整除性质

证明：本原勾股数中， $x y$ 能被 $12$ 整除。

解：设 $x = 2 m n$ ， $y = m^{2} - n^{2}$ ， $m, n$ 一奇一偶且互素。

被 4 整除： $m, n$ 一奇一偶， $2 m n$ 中含因子 $2$ ，而 $m^{2} - n^{2}$ 是奇数减偶数，为奇数。所以 $x y = 2 m n (m^{2} - n^{2})$ 中被 $2$ 整除的部分来自 $2 m n$ ， $m n$ 中有一个偶数，故 $x y$ 被 $4$ 整除。

被 3 整除： $m, n$ 中若有一个被 $3$ 整除， $2 m n$ 被 $3$ 整除；若都不被 $3$ 整除，则 $m^{2} \equiv n^{2} \equiv 1 (\mod 3)$ ， $m^{2} - n^{2} \equiv 0 (\mod 3)$ 。

两种情况都被 $3$ 整除。 $4$ 与 $3$ 互素，故 $x y$ 被 $12$ 整除。

例4 无解证明

证明： $x^{2} + y^{2} = 3 z^{2}$ 没有正整数解。

解：看模 $3$ 。平方数模 $3$ 只能是 $0$ 或 $1$ 。

若 $x, y$ 都不被 $3$ 整除， $x^{2} + y^{2} \equiv 2 (\mod 3)$ ，而右边 $\equiv 0$ ，矛盾。

所以 $x, y$ 中至少一个被 $3$ 整除。若只有一个被 $3$ 整除，另一个不被整除，则左边 $\equiv 1$ ，仍矛盾。

所以 $x, y$ 都被 $3$ 整除。设 $x = 3 x_{1}, y = 3 y_{1}$ ，代入得 $9 (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) = 3 z^{2}$ ，即 $3 (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) = z^{2}$ ，说明 $z$ 也被 $3$ 整除。

于是 $x, y, z$ 都被 $3$ 整除，可以不断除下去，与正整数解的存在矛盾（无穷递降）。

例5 实际应用

一棵树高 $9$ 米，离树 $12$ 米处有一根绳子拴在树顶，绳子长多少？

解：直角三角形，两直角边 $9$ 和 $12$ ，斜边 $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ 米。

三个坑

忘了本原条件：不要求互素时， $m, n$ 可以任意取，会生成成比例的重复组（如 $6, 8, 10$ ）。
把公式当成唯一形式： $x = 2 m n$ 这一支假设了 $x$ 是偶数，若 $x$ 是奇数则 $x, y$ 互换。
无解证明只验证几个数：模分析要覆盖所有余数类，不能只试几个。

练习（先做，再看答案）

用 $m = 4, n = 1$ 生成勾股数。
判断 $20, 21, 29$ 是否为本原勾股数。
求斜边为 $25$ 的所有勾股数。
证明： $x^{2} + y^{2} = 4 z + 3$ 没有整数解。
一个直角三角形两直角边为 $7$ 和 $24$ ，求斜边。

看答案

1. $x = 8, y = 15, z = 17$ 。

2. 是。 $gcd (4, 1) = 1$ ，一奇一偶，且 $20^{2} + 21^{2} = 400 + 441 = 841 = 29^{2}$ 。

3. $z = m^{2} + n^{2} = 25$ ： $(m, n) = (4, 3)$ 得 $(24, 7, 25)$ ； $(5, 0)$ 不合法。所以是 $7, 24, 25$ 。

4. 平方数模 $4$ 只有 $0, 1$ ， $x^{2} + y^{2}$ 模 $4$ 只能 $0, 1, 2$ ；而 $4 z + 3 \equiv 3 (\mod 4)$ ，矛盾。

5. $\sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ 。

一页速记

通解： $x = 2 m n$ ， $y = m^{2} - n^{2}$ ， $z = m^{2} + n^{2}$ ， $m > n > 0$
本原条件： $gcd (m, n) = 1$ 且一奇一偶
本原勾股数中 $x y$ 被 $12$ 整除，面积被 $6$ 整除
无解常用模分析 + 无穷递降
公式只覆盖“ $x$ 为偶数”这一支，另一支交换 $x, y$

看完了？ 去整除、同余与不定方程做配套练习，或回到竞赛总览挑下一个专题。想动手刷题、看看这些方法在题目里怎么用，去奥数挑战。