奇偶分析：最简单也最有效的分类

两个整数相加、相乘，结果的奇偶只看两数的奇偶：

一句话：加法看相同与否，乘法看有没有偶数。

推论：$n$ 个奇数相加，$n$ 为奇数时结果是奇数，$n$ 为偶数时结果是偶数。

场景一：判断可能性。“能否把 1 到 10 分成两组，使两组和相等？”总和 $55$ 是奇数，分成两组和相等就要求总和是偶数，矛盾。

场景二：操作类。“每次可以把一个数加 1、另一个数减 1，能否……”每次操作总和不变，奇偶性也不变。

场景三：棋盘染色。黑白相间染色后，每次移动都从黑到白或白到黑，走的步数就决定了终点颜色。

例1 分组求和

能否把 $1,2,\dots ,10$ 分成两组，使两组的和相等？

解：总和 $1+2+\cdots +10=55$，是奇数。若两组和相等，总和必须是偶数，矛盾。

所以不能。

例2 不变量

黑板上写着 $1,2,\dots ,100$。每次操作擦去两个数，写上它们的和。经过 $99$ 次操作后只剩一个数，这个数一定是奇数吗？

解：每次操作把两个数换成一个数，总和不变。最后剩下的数等于 $1+2+\cdots +100=5050$，是偶数，与操作顺序无关。

这就是不变量的力量：不管怎么操作，结果唯一确定。

例3 翻硬币

桌上有 $7$ 枚硬币，全部正面朝上。每次翻动 $4$ 枚，能否经过若干次操作使全部反面朝上？

解：看“反面朝上的枚数”的奇偶。初始 $0$ 枚（偶）。

每次翻 $4$ 枚，反面枚数的变化量可能是 $-4,-2,0,2,4$，都是偶数。所以反面枚数的奇偶性始终不变，永远是偶数。

$7$ 是奇数，不可能全反面。所以不能。

例4 棋盘染色

$8\times 8$ 棋盘去掉对角两个格子，剩下的 $62$ 个格子能否用 $1\times 2$ 的多米诺骨牌完全覆盖？

解：黑白相间染色，$8\times 8$ 棋盘有 $32$ 黑 $32$ 白。去掉的两个对角格子同色（角上的格子颜色相同），剩下 $30$ 黑 $32$ 白（或反之）。

每块 $1\times 2$ 骨牌必然覆盖一黑一白，所以能覆盖的前提是黑白数相等。现在不相等，不能覆盖。

例5 奇偶与方程

求方程 $x^2+y^2=2026$ 的所有整数解。

解：$2026$ 是偶数。平方数的奇偶与原数相同，所以 $x^2,y^2$ 同奇偶。

若都为偶数：设 $x=2m,y=2n$，则 $x^2+y^2=4(m^2+n^2)$，被 $4$ 整除。但 $2026=4\times 506+2$，不被 $4$ 整除，矛盾。

所以 $x,y$ 都是奇数。

求具体值：$2026=2\times 1013$，而 $1013={22}^2+{23}^2$。用恒等式 $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2$$ 取 $(a,b)=(1,1)$，$(c,d)=(22,23)$： $$2026=(22+23{)}^2+(23-22{)}^2={45}^2+1^2$$

所以 $|x|,|y|$ 只能是 $45$ 和 $1$。解为 $(\pm 45,\pm 1)$ 与 $(\pm 1,\pm 45)$，共 $8$ 组。