完全平方数：用余数排除

一个整数平方之后，末尾数字只可能是

不可能是 $2,3,7,8$。这一条就能枪毙很多候选。

更细的规律来自模运算。设 $n$ 除以 $m$ 余 $r$，则 $n^2$ 除以 $m$ 的余数就是 $r^2$ 除以 $m$ 的余数。逐一试 $r=0,1,\dots ,m-1$，就得到平方数模 $m$ 的全部可能值。

因为平方数模 $4$ 只有 $0,1$，所以形如 $4k+2$、$4k+3$ 的数一定不是平方数。

模 $8$ 更强：平方数只能是 $0,1,4$，所以 $8k+2$、$8k+3$、$8k+5$、$8k+6$、$8k+7$ 都不是。

奇数的平方一定 $\equiv 1\left(\mathrm{mod}8\right)$，这条结论在竞赛里出现频率极高。

例1 夹逼法排除

证明：当 $n>1$ 时，$n^2+n+2$ 不是完全平方数。

解：把它夹在两个相邻平方数之间： $$n^2<n^2+n+2<(n+1{)}^2$$ 左边由 $n^2<n^2+n+2$ 直接得出。右边等价于 $n+2<2n+1$，即 $n>1$，正是题设条件。

所以 $n^2+n+2$ 严格位于 $n^2$ 与 $(n+1{)}^2$ 之间，不可能是平方数。

顺便看一眼 $n=1$：$1+1+2=4=2^2$，确实是平方数。这也是为什么条件要写 $n>1$——边界值必须单独验证。

例2 模 8 排除

证明：对任意整数 $n$，$n^2+2$ 不是完全平方数。

解：$n$ 偶时 $n^2\equiv 0$ 或 $4\left(\mathrm{mod}8\right)$，$n^2+2\equiv 2$ 或 $6$，都不是平方数余数。

$n$ 奇时 $n^2\equiv 1$，$n^2+2\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$，也不是。

三种情况全部排除，故 $n^2+2$ 不是完全平方数。

例3 夹逼法

证明：$n^2+3n+3$ 不是完全平方数（$n$ 为正整数）。

解：把它夹在两个相邻平方数之间： $$n^2<n^2+3n+3<(n+2{)}^2=n^2+4n+4$$ 右边不等式等价于 $3n+3<4n+4$，即 $n>-1$，恒成立。

所以 $n^2+3n+3$ 严格夹在 $n^2$ 与 $(n+2{)}^2$ 之间。它可能等于 $(n+1{)}^2$ 吗？$(n+1{)}^2=n^2+2n+1$，与 $n^2+3n+3$ 相差 $n+2>0$，不等。

因此它不可能是平方数。

例4 平方数的末两位

求所有使 $n^2$ 的末两位为 $44$ 的正整数 $n$ 的末位数字。

解：末两位由 $nmod100$ 决定。$n^2\equiv 44\left(\mathrm{mod}100\right)$。

模 $4$：$44\equiv 0$，平方数模 $4$ 可以是 $0$，$n$ 需为偶数。

模 $25$：$44\equiv 19$，平方数模 $25$ 的可能值是 $0,1,4,6,9,11,14,16,19,21,24$，$19$ 在列表里，可行。

逐个试 $nmod50$ 的偶数：$n\equiv 12,38,62,88\left(\mathrm{mod}100\right)$ 时 $n^2$ 末两位为 $44$。所以末位是 $2$ 或 $8$。

例5 连续平方数之间

证明：四个连续整数的乘积加 $1$ 是完全平方数。

解：设四数为 $n,n+1,n+2,n+3$。 $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$$ $$=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1{)}^2$$

这是个恒等式，四个连续整数之积加 $1$ 一定等于中间两个数乘积加 $1$ 的平方。