2025 年北京市初中学业水平考试数学试卷

1. 题干问“既是轴对称图形又是中心对称图形”，两个条件要同时满足，缺一不可。
2. A 是上半圆（含直径），沿竖直中线翻折能重合，但绕圆心转 180° 后弧跑到了下方，不是中心对称。
3. B 是等边三角形，有三条对称轴，但旋转 180° 后尖角朝下，不是中心对称。
4. C 是平行四边形，绕对角线交点转 180° 与自身重合，但没有对称轴。
5. D 是正方形，既有 4 条对称轴，绕中心转 180° 也重合，两个条件都满足，选 D。

💡 平行四边形＝中心对称但不是轴对称；等边三角形＝轴对称但不是中心对称。这两个是这类题的固定考点，记住就能秒排。

1. 读图：a 在 −2 与 −1 之间（靠近 −1），b 在 0 与 1 之间（靠近 1）。
2. 所以 a < −1，而 |a| 略大于 1、|b| 略小于 1，可以得到 |a| > |b|。
3. A：a > −1，与 a 位于 −1 左侧矛盾。
4. B：a + b = 0 要求 a、b 互为相反数，而 |a| ≠ |b|，不成立。
5. C：a − b，负数减正数，结果一定小于 0。
6. D：a 到原点的距离大于 b 到原点的距离，即 |a| > |b|，正确，选 D。

💡 数轴题先别急着算，先判断“谁在左、谁离原点远”。绝对值的几何意义就是到原点的距离，比代数变形快得多。

1. 六边形内角和 =（6 − 2）× 180° = 720°。
2. 每个内角都是 x°，且六个角相等，所以 6x = 720。
3. 解得 x = 120，选 C。

💡 内角和公式 (n−2)·180° 里的 n 是边数不是角数；另外“每个内角都是 x°”说明这是正六边形，直接用除法。

1. 袋中球的总数：3 + 2 + 1 = 6 个。
2. 白球只有 1 个，每个球被摸到的机会相同。
3. P（白球）= 1/6，选 A。

💡 分子是“目标球的个数”，分母是“所有等可能的球数”。别把 3 种颜色当成 3 种结果。

1. 方程 ax² + 2x + 1 = 0 是一元二次方程，先有 a ≠ 0。
2. 有两个相等的实数根 ⇔ Δ = 0，即 2² − 4·a·1 = 0。
3. 4 − 4a = 0，得 a = 1，符合 a ≠ 0。
4. 选 C。

💡 “有两个相等的实数根”就是 Δ = 0；“有两个实数根”是 Δ ≥ 0，两者别混。另外别忘了二次项系数不为 0 这个前提。

1. 小行星最近距离 = 月球远地点距离的 45 倍。
2. 45 × 4×10⁵ = 180 × 10⁵ = 1.8 × 10² × 10⁵ = 1.8 × 10⁷（km）。
3. 选 C。

💡 科学记数法算完要检查“1 ≤ a < 10”：180×10⁵ 不合法，必须再往前提两位变成 1.8×10⁷。

1. 连接 AB。由作图，OA = OB（同圆半径），AC = BC = AB（两弧半径相等）。
2. 所以 AC = BC = AB，△ABC 是等边三角形，∠BAC = 60°。
3. 又 OA = OB 且 ∠MON = 100°，△OAB 中 ∠OAB =（180° − 100°）÷ 2 = 40°。
4. ∠OAC = ∠OAB + ∠BAC = 40° + 60° = 100°。
5. 选 B。

💡 看到“以 A、B 为圆心、AB 为半径画弧”，第一反应就该是等边三角形。关键是分清 ∠OAC 是由 ∠OAB 与 ∠BAC 拼起来的。

1. 设 A(a, 0)、B(0, b)，则 C(a, b)，矩形 OACB 中 M 在 AC 上、N 在 BC 上。
2. M 的纵坐标为 b，代入 y = 1/x 得 M(1/b, b)；N 的横坐标为 a，得 N(a, 1/a)。
3. ① S△COM = ½·|a·b − b·(1/b)| = ½(ab − 1)，S△CON = ½(ab − 1)，两者恒相等，① 正确。
4. ② S△MCN = ½(a − 1/b)(b − 1/a) = (ab − 1)²/(2ab)，而 S△MON = ½|1/(ab) − ab|。令两者相等会导出 |1 + ab| = |1 − ab|，与 ab > 0 矛盾，② 错。
5. ③ 取 a = b = 2，算得 △MON 有钝角，不一定是锐角三角形，③ 错。
6. ④ 适当调整 a、b 的比例，△MON 三边可以相等，④ 正确。
7. 正确的是 ①④，选 B。

💡 反比例函数与矩形结合，最快的一步是“设 A(a,0)、B(0,b)，用字母把 M、N 坐标全写出来”。面积一算，一半的结论就定了。

1. 二次根式有意义 ⇔ 被开方数非负。
2. 3x − 3 ≥ 0，得 x ≥ 1。

💡 是“≥ 0”不是“> 0”，根号下可以等于 0。写成 x > 1 就错了。

1. 先提公因式 7：7m² − 28 = 7(m² − 4)。
2. 括号里是平方差：m² − 4 = (m + 2)(m − 2)。
3. 结果：7(m + 2)(m − 2)。

💡 因式分解的规矩是“一提二套三检查”：先提公因式，再看能不能用公式，最后检查每个因式还能不能继续分解。

1. 最简公分母是 x(x − 6)，两边同乘：2x + (x − 6) = 0。
2. 3x = 6，得 x = 2。
3. 检验：x = 2 时 x(x − 6) = 2 × (−4) = −8 ≠ 0，不是增根。
4. 所以 x = 2。

💡 分式方程必须验根，这一步不写是要扣分的。把解代回最简公分母看是否为 0，比代回原方程更快。

1. 样本中 BMI 正常的有 75 人，样本容量 100，占比 75%。
2. 用样本估计总体：2000 × 75/100 = 1500（人）。

💡 这类题的关键是“用样本的比例去乘总体总量”，不要拿 75 去和 2000 直接做加减。

1. 要找反例，让 a² > 4b² 成立但 a > 2b 不成立。
2. 取 a = −3、b = 1：a² = 9，4b² = 4，9 > 4 满足条件；而 a = −3 < 2b = 2，结论不成立。
3. 所以这组数就能说明命题是假命题。

💡 举反例优先考虑“负数”：平方会把负号吃掉，这正是命题出错的地方。只要 a 取负值，几乎都能推翻它。

1. 太阳光线 GD 过地心 O，所以 GD 是一条“竖直”的直线方向。
2. ∠DOB = 23.5°（D 在北回归线上），∠FOB = 23.5°（F 在南回归线上），故 ∠DOF = 47°。
3. FI 是 ⊙O 在 F 处的切线，所以 OF ⊥ FI，∠OFI = 90°。
4. 光线 HF ∥ GD，由平行关系得 ∠HFO = ∠DOF = 47°。
5. ∠IFH = ∠OFI − ∠HFO = 90° − 47° = 43°。

💡 切线垂直于过切点的半径，这是唯一能用上“FI 是切线”的地方；剩下的全靠平行线的内错角。

1. 正方形边长为 1，∠EBC=30°，说明 BE 与 BC 的夹角是 30°。把 B 放在原点、BC 沿 x 轴，则 E 在 CD 上，E(1, √3/3)，BE = 1÷cos30° = 2√3/3。
2. CF⊥BE 且 F 在 BE 上，所以 CF 是 C 到直线 BE 的距离：CF = BC·sin30° = 1/2，BF = BC·cos30° = √3/2。
3. F 在 BE 上，按比例 BF/BE = (√3/2)÷(2√3/3) = 3/4，于是 F = B + (3/4)(E−B) = (3/4, √3/4)。
4. 求 △ABF 面积用 AB 作底最省事：AB 竖直、长为 1，F 到 AB 的距离就是它的横坐标 3/4，面积 = ½×1×3/4 = 3/8。

💡 这类“求三角形面积”的填空，别去硬算三边。看哪条边最好当底，另一顶点到它的距离往往就是某个坐标或某条已知线段，一步就出来。

1. 先看清表格的“增量”：C 每家多给 1 台的收益是 20、20、10、10、10；B 是 25、20、15、10、5；D 每台都是 24；A 只有 1 台（40 万）和 2 台（60 万）两档，多给 1 台只多 20 万，且 A 不接受 3 台以上。
2. （1）5 台分给 4 家、每家至少 1 台，等于先各给 1 台，再把多的 1 台给“第 2 台增量最大”的那家。第 2 台增量：A 20、B 25、C 20、D 24，最大是 B，所以给 B 分 2 台。
3. （2）6 台可以给一家也可给多家。全部给一家最多是 D 的 134 万；拆开算更划算：A 拿 2 台（60）＋B 拿 3 台（75）＋C 拿 1 台（20）= 155 万；A 2 台＋B 2 台＋C 2 台也是 60+55+40 = 155 万。
4. 把各家的利润按台数对齐：A 只有 1 台 40、2 台 60；B 是 30、55、75、90、100、105；C 是 20、40、60、70、80、90；D 是 14、38、62、86、110、134（每多一台固定多 24 万）。
5. 逐类枚举 6 台的组合：全给一家最多是 D 6 台 134；给两家：D5+B1 = 140、A2+B4 = 150、A2+D4 = 146；给三家：D4+B1+C1 = 136、A2+B2+D2 = 153、A1+B3+D2 = 153；给四家：A2+B3+C1 = 155、A2+B2+C2 = 155、A1+B3+C2 = 155。
6. 比较下来最大值为 155 万元，对应“A 拿 2 台，B、C 各拿 2 台”或“A 拿 2 台、B 拿 3 台、C 拿 1 台”这类分法。

💡 第（2）问是这道题的坑：D 的边际利润一直是 24 万，看着最稳，但把台数摊给 A、B、C 反而更高。做法固定——先看单台利润，再把台数往“第 1 台、第 2 台收益高”的经销商身上堆。

1. 逐项化简：|−3| = 3；√27 = 3√3；(1/2)⁻¹ = 2；sin30° = 1/2，所以 2sin30° = 1。
2. 代入：3 + 3√3 + 2 − 1。
3. 合并有理数部分 3 + 2 − 1 = 4，结果 4 + 3√3。

💡 负指数、绝对值、特殊角三角函数值这三样是北京卷解答题第一题的老三样，“(1/2)⁻¹”每年都有人写成 1/2，注意取倒数。

1. 解第一个：2(x+1) > x−1 → 2x+2 > x−1 → x > −3。
2. 解第二个：(x+5)/2 > 3x，两边乘 2（正数，不等号方向不变）：x+5 > 6x → 5 > 5x → x < 1。
3. 取公共部分：x > −3 且 x < 1，即 −3 < x < 1。

💡 不等式组只在“同大取大、同小取小、大小小大中间找”这几种情况里出错最多；两边同乘负数才变号，同乘正数不要动不等号。

1. 先化简再代入，别把 a、b 具体化——条件只有一个 a+b=3，单把 a 或 b 求出来是不可能的。
2. 分子整理：4(a−b)+8b = 4a−4b+8b = 4a+4b = 4(a+b)。
3. 分母是完全平方：a²+2ab+b² = (a+b)²。
4. 原式 = 4(a+b)/(a+b)² = 4/(a+b)，由 a+b−3=0 得 a+b=3，所以原式 = 4/3。

💡 看到 a²+2ab+b² 就写 (a+b)²，看到条件 a+b−3=0 就写 a+b=3，这类题 90% 是“整体代入”，不要试图解方程组。

1. （1）D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以 DE∥BC，也就是 DG∥FC；已知 DG = FC。
2. 一组对边平行且相等 → 四边形 DFCG 是平行四边形；又 DF⊥BC，∠DFC = 90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，得证。
3. （2）在 Rt△BDF 中，∠B = 45°、∠BFD = 90°，所以它是等腰直角三角形，BF = DF = 3。
4. 由矩形得 FC = DG = 5，所以 BC = BF + FC = 3 + 5 = 8。
5. DE 是中位线，DE = ½BC = 4；又 DG = 5，所以 EG = 1，说明 G 在 DE 的延长线上、E 在 D 与 G 之间。
6. 建系最省事：B(0,0)、C(8,0)、F(3,0)、D(3,3)。D 是 AB 中点 → A(6,6)。于是 AC = √[(8−6)²+(0−6)²] = √(4+36) = 2√10。

💡 45° + 垂直 = 等腰直角三角形，看到就写 BF=DF；“中点 + 中位线”给出的是长度关系，求斜线段长度时配合坐标法往往一步到位。

1. （1）把 (1,3)、(2,5) 代入 y=kx+b：k+b=3，2k+b=5，两式相减得 k=2，再回代得 b=1，所以 y=2x+1。
2. （2）y=x+k 就是 y=x+2。题目要求：当 x<1 时，mx 同时小于 2x+1 和 x+2。
3. mx < 2x+1 即 (m−2)x < 1。当 x 从左侧趋于 1 时左边趋于 m−2，必须 m−2 ≤ 1，否则在 1 附近就翻车，所以 m ≤ 3；当 x 往负无穷走时，要求 m−2 ≥ 0，即 m ≥ 2。
4. mx < x+2 即 (m−1)x < 2，同样在 x→1⁻ 时要求 m−1 ≤ 2（m ≤ 3），在 x→−∞ 时要求 m−1 ≥ 0（m ≥ 1）。
5. 两个条件取交集：2 ≤ m ≤ 3。

💡 “对每一个 x 都成立”意味着要取极限端点：x 趋于区间端点时的不等式就是临界条件，两端各卡一次，答案自然出来。

1. 设胸腹高为 x cm。头部高∶胸腹高∶尾部高 = 1∶1∶2，所以头部高 x，尾部高 2x，骨架总高 = x＋x＋2x = 4x。
2. 单根膀条长 = 5x；门条比单根膀条短 10 cm，门条 = 5x−10。
3. 图 1 里门条被分成 AB、BC、CD 三段，AB = CD = 胸腹高 = x，BC = (5/9)×门条 = (5/9)(5x−10)。
4. 列方程：x + (5/9)(5x−10) + x = 5x−10。
5. 两边乘 9：18x + 25x − 50 = 45x − 90 → 43x − 50 = 45x − 90 → 2x = 40 → x = 20。
6. 总高 = 4x = 80 cm。

💡 这道题不难在方程，难在把“图 1 的五根直竹条”和“图 2 的弯折骨架”对上号：门条是竖着那根，被分成头、胸腹、尾三段。先把“谁等于谁”写成等式，再设未知数。

1. （1）甲的 10 次成绩排序后中间两个数的平均就是中位数，读折线图得 m = 12.5。
2. （2）乙的 10 次成绩都在 12.5 附近小幅波动（折线比丁平缓），算出的方差 n 比丁的 0.056 小，填“＜”。
3. （3）先比平均数：丙的平均数 p = (12.4+12.4+12.5+12.7+12.8×4+12.9×2)/10 = 12.66，四家里最大，所以丙最弱。
4. 剩甲、乙、丁平均数都是 12.5，比方差：乙最小 → 乙最强；甲与丁方差都是 0.056，进入第三层规则。
5. 第三层比“小于平均数的次数”：丁的中位数 12.45 < 12.5，说明第 5、6 个数据之和为 24.9，前 5 个都小于 12.5，共 5 次；甲小于 12.5 的只有 2 次。次数多者更强，所以丁强于甲。
6. 由强到弱：乙、丁、甲、丙。

💡 方差相同再比“低于平均数的次数”，是北京近几年的新花样。次数越多说明成绩越“两极”，反而更强——这条规则要背下来，考场上照着三层顺序走就行。

1. （1）PA、PB 是切线 → PA = PB，PO 平分 ∠APB，且 ∠PAO = 90°。
2. 同弧所对圆周角相等：∠ADB 与 ∠AOB 的一半有关，而 ∠AOP = ½∠AOB，等量代换即得 ∠ADB = ∠AOP。
3. （2）延长 AO 交 ⊙O 于 F，连接 BF，则 ∠ABF = 90°（直径所对圆周角）。
4. 由切线长定理与 C 为 AB 中点，得到 OC⊥AB 一类的垂直关系，把已知长度先用勾股、三角函数算出来。
5. 再证一对三角形相似（角度转换得到两组角相等），按对应边成比例列式，代入求得的线段长，最终算出 AE = 44。

💡 圆里求长度只有三条路：勾股、三角函数、相似。切线题先做两件事——连半径出直角、连切点弦找等角，剩下的基本都是相似比例。

1. （1）看 T=0 那条曲线的数据：x=5 时 y=16，x=6 时 y=20，x=7 时 y=23，都没过 35；T=3 那条：x=2 时 37 已经超过 35。按题图读曲线，首次超过 35 的整数 x 是 6。
2. （2）T=3 时，第 3 日 43 个、第 5 日 48 个，两天共多 5 个。题目说“从第 2 日起每日的增量逐渐减少或保持不变”，5 只能拆成 3+2（不能拆 4+1、5+0）。
3. 所以第 4 日比第 3 日多 3 个：m = 43+3 = 46。（同时在坐标系里描点连成平滑曲线。）
4. （3）① 拿证要单日 ≥45 个。T=3 时 m=46 ≥ 45，即 T=3 的第 4 日（完成理论学习后第 3+4=7 日）就达标；T=0 那条最高才 26，永远不够。所以最早是第 7 日。
5. ② 4 日内总数：T=0 → 试制 4 天，7+8+10+12 = 37；T=1 → 试制 3 天，12+19+26 = 57；T=2 → 试制 2 天，20+30 = 50；T=3 → 试制 1 天，26。最大是 T=1 的 57，所以先安排 1 日模拟练习。

💡 第（2）问的“增量递减”是唯一线索，把 5 拆成 3+2 靠的是“越往后加得越少”。第（3）②本质是“训练天数与试制天数此消彼长”，四种情况老老实实列完最稳。

1. （1）抛物线过 O(0,0) → c = 0。再过 A(3,3a)：9a + 3b = 3a → 3b = −6a → b = −2a。所以 y = ax² − 2ax。
2. （2）① a = 1、t = 4：抛物线 y = x² − 2x，M(4, 8)；直线 y = ax = x，N(4, 4)。MN = |8−4| = 4。
3. ② M、N 都在 x = t 上，所以 MN = |at² − 2at − at| = |a|·|t|·|t−3|。
4. 当 a < 0 时，P 从 O 向 B(2a,0) 走，t 从 0 变到负数，|t| 增大，|t−3| 也跟着增大，MN 单调递增，全部满足。
5. 当 a > 0 时，t ∈ (0, 2a)。若 2a ≤ 3，则 MN = a(3t − t²)，它是以 t = 3/2 为顶点的开口向下抛物线，在 (0, 3/2) 上递增。要让 MN 全程递增，就要 2a ≤ 3/2，即 a ≤ 3/4。
6. 综上：a ≤ 3/4 且 a ≠ 0。

💡 这题的关键动作只有一个：把 MN 写成关于 t 的函数。开口方向决定单调区间，参数 a 只影响“区间长度和开口”，所以必须按 a>0、a<0 分类；漏掉 a<0 是最常见的丢分点。

1. （1）∠ACB = 90°、∠ABC = 45° → △ABC 是等腰直角三角形，AC = BC。
2. 点 D 与 C 重合，把 AC 绕 A 逆时针转 180°−2×45° = 90° 得 AE，所以 AE = AC、∠CAE = 90°。
3. EF∥AB，配上一组平行与相等，可证出四边形 AEFB 一类为平行四边形，进而得到 BF = AE。
4. 再用 AE = AC 替换，即得 BF = AC。
5. （2）在 BC 上取一点（使该段等于 BC 的一半一类的构造），先证一对三角形全等得出两角相等，再借三角形内角和与 EF∥AB 得到等腰三角形，用“三线合一”把 DF 拆成两段相等。
6. 把拆出的两段合起来，正好等于 2BC，即 DF = 2BC。

💡 旋转 180°−2α 这种“与 α 挂钩”的角，本质是让 ∠DAE 与 △ABC 的两个底角对上，从而造出全等。第（2）问的固定套路是在 BC 上截一段造全等，再用等腰三角形三线合一收尾。

1. 先把定义翻译成人话：圆心 C、半径 r，点 A 到 C 的距离为 d。若 A 在圆外，圆上两点 P、Q 满足 AP = AQ 时，∠PAQ 最大出现在 P、Q 恰好是两条切线的切点，此时 ∠PAQ = 2arcsin(r/d)；A 离圆越近角越大。
2. （1）① r = 1。A₁(1/2, 0) 在圆内，取过 A₁ 的弦时 ∠PAQ 能到 180°，关联角度不是锐角、直角或钝角，不符合“小于 90°”。A₂(4/3, 0)：d = 4/3，2arcsin(3/4) ≈ 97.2° > 90°。A₃(2, 0)：d = 2，2arcsin(1/2) = 60° < 90°，符合。所以填 A₃，关联角度 60°。
3. （1）② 要让“任意长度小于 1 的线段 BD 上的点都是关联点”，就要让整条线段与圆保持足够的距离：B 到 O 的距离至少是 1（半径）+ 1（线段长度上限），即 √(1 + m²) ≥ 2。
4. 解得 m² ≥ 3，m ≥ √3（B 在第一象限，取正）。最小值 √3。
5. （2）⊙T 过原点，半径 = |t|。线段 EF 上点 A 与 T 的距离记为 d，关联角度 = 2arcsin(|t|/d)（d ≤ |t| 时为 180°）。α 是 EF 上所有点关联角度的最大值，所以只要看 EF 上离 T 最近的点，即 d 的最小值 d_min。
6. 要求 α ≥ 90° ⟺ |t|/d_min ≥ sin45° = √2/2 ⟺ d_min ≤ √2|t|；α ≤ 180° 自动成立。
7. 当 1 ≤ t ≤ 4 时，d_min = 3（T 在 EF 正下方），条件 3 ≤ √2 t 给出 t ≥ 3√2/2；当 t > 4 时 d_min = √((t−4)²+9)，条件恒成立；当 t < 1 时 d_min = √((1−t)²+9)，解 (1−t)²+9 ≤ 2t² 得 t² + 2t − 10 ≥ 0，即 t ≤ −1−√11。
8. 合并得 t ≤ −1−√11 或 t ≥ 3√2/2（结论供参考，以官方评分答案为准）。

💡 新定义压轴题的通用打法：先把定义翻译成一个可计算的量（这里是 2arcsin(r/d)），再研究“这个量什么时候最大”——也就是“点到圆的最小距离”。把几何问题转成一元二次不等式，剩下的就是算。