① 原理 · 为什么这样算
🔊 朗读
二次函数在顶点处取得最值：a > 0 时顶点是图象最低点，函数有最小值；a < 0 时顶点是最高点，函数有最大值。
最值等于顶点的纵坐标，即 (4ac − b²)/(4a)。也可以先把 x = −b/(2a) 代入求出 y 值。
实际问题求最值时，要注意自变量的取值范围，最值不一定恰在顶点处取得。
② 例题 · 由浅入深
1基础二次函数 y = x² − 4x + 3，当 x 取何值时 y 有最小值？这个最小值是多少？
- 顶点横坐标 x = −b/(2a) = 2，此时取最小值
- 把 x = 2 代入：y = 2² − 4×2 + 3
- 最小值是 −1
2提高二次函数 y = x² + 2x + 2，当 x 取何值时 y 有最小值？这个最小值是多少？
- 顶点横坐标 x = −2/2 = −1
- 代入：y = (−1)² + 2×(−1) + 2
- 最小值是 1
3挑战二次函数 y = −x² + 4x，当 x 取何值时 y 有最大值？这个最大值是多少？
- a = −1 < 0，顶点处取最大值，x = −4/(2×(−1)) = 2
- 代入：y = −2² + 4×2
- 最大值是 4
③ 练一练 · 自动出题 / 判对错 / 看步骤
已完成 0/0
④ 举一反三 · 自己出题再算一遍
会了这一类，换个数字再来一道：先自己算，再点「看步骤」核对思路。真正的掌握是能自己出题。
⑤ 拓展 · 挑战
课内知识的延伸与竞赛入门题，题干与解法均据课内方法自行编写。先动笔，再点开详解对照思路；几何题尽量配图。
1课内延伸用一条长为 20 米的绳子围成一个矩形，求矩形面积的最大值。
- 设矩形一边长为 x 米，则另一边为 (10 − x) 米，面积 S = x(10 − x) = −x² + 10x。
- 这是二次函数，a = −1 < 0，在顶点处取最大值，x = −10/(2×(−1)) = 5。
- 此时 S = −5² + 10×5 = 25。所以矩形（实为正方形）面积最大为 25 平方米。
⑥ 各教材版本中的位置
同一个知识点，不同教材版本安排的年级和章节不完全一样。下表中带你版本名的，就是它在你那本课本里的位置：
人教版九年级 · 二十二 二次函数
相关知识
顺手能用的小工具本页的练习题都在你的浏览器里生成与判分，不上传、不限次数。想要现成的计算器？去 974 工具箱 找「单位换算」「方程求解」等工具。